Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В другую сторону, предположим, что ях и я2 не квазиэквивалентны. Пусть С ? Я (St)' и Е — ортогональный проектор в ф на ?>i Ф {0}- Мы покажем, что СЕ = ЕС. Достаточно показать, что (И — Е) СЕ = 0, ибо я (St)' — алгебра фон Неймана. Будь этот оператор ненулевым, тогда частичная изометрия U, входящая в его полярное разложение, принадлежала бы я (St)', так как Е, С ? я (St)', и UE = (fl — Е) U = U. Следовательно, Un1 (Л) = = я2 (Л) U, т. е. U устанавливает унитарную эквивалентность подпредста-вления яг и подпредставления я2.
Поскольку всякое подпредставление факторпредставления квазиэквивалентно самому представлению (по теореме 2.4.26, (1) и лредложению 2.4.22), то Я! к; я2, что противоречит исходной посылке. Следовательно, СЕ = ЕС для любого С ? я (St)' и, значит, Е ? я (St)", т. е. Е ? я (St)” П я (St)'. Таким образом, ЕЕ' — нетривиальный элемент в центре алгебры яю (St)" = я (St)" Е' (нетривиальный, потому что Е' (§х ф {0}) = [ях (St) fii] Ф {0} ф {0}
и Е' ({0} ф ?>2) ф {0}, так что 0 =j= ЕЕ' Ф Е'). Тем самым со = (сох + со2)
не будет факторным состоянием.
2.5. Модулярная теория Томиты— Такесаки и стандартные формы 91
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки
и стандартные формы алгебр фон Неймана
Теорема 2.1.11, а) показывает, что абелева алгебра фон Неймана 3JI изоморфна алгебре С (X) на компактном хаусдорфовом пространстве X. Если со — нормальное состояние на 9$, то по теореме Рисса об общем виде линейного функционала на X существует такая вероятностная мера |i, что со (А) = j А (х) d\i (х) для любого А ? 9JJ. Отсюда немедленно следует, что, рассматривая циклическое представление (ф, л, ?2), ассоциированное с со, можно отождествлять § с L2 (X, р), а вектор Q — с функцией на X, тождественно равной 1. При этом я (2Я) совпадает с алгеброй L°° (X, р), элементы которой действуют в La (X, р) как операторы умножения на функцию. Если носителем р является всё X, то преддвойственное пространство можно отождествить с L\X, р). В частности, положительный функционал р ? будет представлен единственной положительной функцией из L1, которая в свою очередь оказывается квадратом единственной положительной функции из L2. Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством положительных нормальных состояний на 9JJ и множеством L\ положительных функций из L2 (= ф). Этим соответствием можно в свою очередь воспользоваться для установления взаимно-однозначного соответствия между автоморфизмами ЗЯ и унитарными операторами в L2, которые отображают положительные функции на положительные функции.
Кратко остановимся на структуре множества L\. Положительные элементы образуют в L2 замкнутый выпуклый конус, причем конус самосопряжен в том смысле, что неравенство
J dufg - О
имеет место для всех / ? L\ тогда и только тогда, когда g ? L\. Абстрактное описание этого конуса мы получим, вспоминая, что Ш является С*-алгеброй и ее положительные элементы образуют равномерно замкнутый выпуклый конус (предложение 2.2.11). Каждый элемент этого конуса имеет вид А*А с А ? Ш, а его /^-представитель я (А*А) ?2 положителен. Слабое замыкание множества таких векторов совпадает с L\. Свойство самосопряженности L+ вытекает из коммутативности 9№, потому что
(я (A*A) Q, я (В*В) Q) = со (А*АВ*В) = со ((АВ)* АВ) > 0.
В этом разделе будет показано, что подобной структурой можно наделить всякую алгебру фон Неймана 9№, обладающую точным (см. определение 2.5.4) нормальным состоянием. А именно, мы построим такое гильбертово пространство ф с «положительным
92
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
самосопряженным конусом» что положительные элементы из 2Н* можно привести в соответствие с векторами из 9>, а автоморфизмы Т1 будут соответствовать унитарным операторам в ф, оставляющим
на месте. Хотя описание ZP в общем случае аналогично абстрактному описанию в случае абелевой 2Н, имеется существенное отличие, связанное с некоммутативностью Ш. Пусть 2Н действует в ф и имеет циклический вектор ?2. Можно построить выпуклый конус в ф из векторов вида A*AQ, однако для неабелевой Ш этот конус не обязан быть самосопряженным, ибо нет причин, по которым бы для соответствующего состояния со (А) = (Q, я (А) й) должно было выполняться неравенство со (А*АВ*В) ^ 0. Такое свойство гарантируется для неабелевой Ш, если со будет следом, т. е. если со (АВ) = со (ВА) при любых А, В ? Ш. Имеет смысл сравнить эту ситуацию с абелевым случаем.
Введем оператор сопряжения (инволюцию) J в полагая
JAQ = Л*?2.
Следовое свойство со дает нам
IAQ ||2 = со (А*А) = со (АА*) = || A*Q f,
так что J корректно определен и может быть расширен до анти-унитарного оператора (обозначаемого тем же символом). Кроме того,
JAJBQ = JAB*Q = BA*Q.
В случае абелевой 2Н эта выкладка показывает, что / осуществляет операцию инволюции *, т. е. А* = j (А), где j (А) = JAJ. В случае следа на неабелевой 2Н действие j более сложное. Например,
