Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(ВД Axj (А2) B2Q) = со (ЯГЛАЛ*) = (ЯА j (Л2) АхВ20),
откуда видно, что j (А) ? Ш'; это свойство в абелевом случае тривиально.
Пример со следом подсказывает, что в общем случае конструкция соответствующего самосопряженного конуса как множества векторов A A *Q предполагает модификацию *-операции. Следует заменить А* на «сопряженный элемент» j (А); при этом надо ожидать, что новая операция / отображает Т1 на 2К'. Изучение отображения AQ н-=> служит отправным пунктом теории Томиты—Такесаки, которой посвящен пункт 2.5.2. Предварительно в пункте 2.5.1 мы введем класс алгебр, с которыми будем иметь дело в дальнейшем; этот класс важен и для приложений.
2.5.1. a-конечные алгебры фон Неймана
Все алгебры фон Неймана, встречающиеся в квантовой статистической механике и квантовой теории поля, попадают в следующий класс:
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 93
Определение 2.5.1. Алгебра фон Неймана Ш называется а-ко-нечной, если мощность любого набора ее взаимно ортогональных проекторов не превосходит мощности счетного множества.
Отметим, в частности, что всякая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве cr-конечна, однако обратное не справедливо, т. е. не все cr-конечные алгебры фон Неймана могут быть реализованы в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Определение 2.5.2. Пусть — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве ф. Подмножество 5t s § называется отделяющим для (или сепаратором), если для А ? Ш условие А% = 0 при всех ? ? 51 означает, что А = 0.
Напомним, что подмножество R s $ называется циклическим для Ш, если [9К51] = ?. Между свойствами быть циклическим для алгебры и быть отделяющим для ее коммутанта нет разницы, как показывает
Предложение 2.5.3. Пусть Ш — алгебра фон Неймана в $ и 51 s ?>. Следующие условия эквивалентны.
(1) 51 — циклическое для Ш множество;
(2) R — отделяющее для Ш' множество.
Доказательство. (1) =>- (2). Допустим, что Я циклично для ЭЛ, и выберем А' ? ЭЛ' так, чтобы А'Й = {0}. Тогда для любых В ? ЭЛ и 5 ? Я имеем А'В% = ВА'\ = 0 и, следовательно, А' [ЗЛЯ] = {0}, т. е. А' = 0.
(2) =>- (1). Предположим, что Я — сепаратор для ЯЛ', и положим Р' = = [ЗЛЯ]. Тогда Р' — проектор в ЭЛ' и (И Р') Я — {0}. Следовательно, И — Р' = 0 и поэтому [ЭЛЯ] = ф.
Определение 2.5.4. Состояние со на алгебре фон Неймана Ш называется точным, если со (А) > 0 для всякого ненулевого Л С 1*.
Пример 2.5.5. Пусть ЭЛ = S (ф) в сепарабельном ф. Каждое нормальное состояние со на ЭЛ имеет вид
со (А) = Тг (рА),
где р — матрица плотности. Если со точно, то со (Е) > 0 для любого одномерного проектора Е, т. е. при всех яр ? ф \ {0}. Тем самым опера-
тор р обратим (в классе плотно определенных самосопряженных операторов в ф). Если же, напротив, состояние со не точно, то для некоторого ненулевого А будет ш (Л*Л) = 0 и, значит, I p1/2/!*^ I = 0 при всех ? ф, так что р необратим. Заметим, что в случае несепарабельного ф оператор р имеет не более чем счетное множество ненулевых собственных значений. Значит, со (А) обратится в нуль для некоторого положительного А, т. е. со не является точным состоянием. Таким образом, 3! (ф) будет о-конечной алгеброй (иначе говоря, ф будет сепарабельным) тогда и только тогда, когда S (ф) обладает точным нормальным состоянием.
Следующее предложение характеризует a-конечные алгебры фон Неймана.
94
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Предложение 2.5.6. Пусть ЗЛ — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве ф. Тогда эквивалентны условия:
(1) 2R является о-конечной алгеброй;
(2) существует счетное подмножество в ф, отделяющее для 9JJ;
(3) существует точное нормальное состояние на 9W;
(4) ЗЯ изоморфна алгебре фон Неймана п (Ш), обладающей отделяющим и циклическим вектором.
Доказательство. (1) =ф- (2). Пусть {|а} — максимальное семейство векторов в ф, такое что при а Ф а' проекторы [2К'1а] и [2К'?а<] ортогональны. Семейство {|а} счетно, поскольку проектор [Э31'|а] лежит в 931 (это наименьший проектор в 931, область значений которого содержит |а). Из свойства максимальности {|а} вытекает, что
SlSK'EoI = 1.
а
Но это означает, что {|а} — циклическое для 931' множество, и в силу предложения 2.5.3 оно является отделяющим для 9Л.
(2) => (3). Выберем-последовательность векторов ?„ так, чтобы множество {|п} оказалось сепаратором для Ш и 2n||Jjn||a = 1. Зададим со равенством
со (А) = ? (In, Ain).
п
Состояние со является a-слабо непрерывным, а значит, нормальным (теорема 2.4.21). Если со (А*А) = 0, то 0 = (?„, А*А^п) = ||Л|„|2 при всех п, так что А = 0.
(3) =>• (4). Пусть со — точное нормальное состояние на 931 и (ф, я, Q) — соответствующее циклическое представление. По теореме 2.4.24, я (931) — алгебра фон Неймана. Если для некоторого А ? 931 выполняется равенство я (A) Q = 0, то со (А*А) = || я (А) О ||2 = 0, следовательно, А *А = 0 и А = 0. Этим доказаны и точность представления я, и свойство вектора Q быть отделяющим для я (2)1).
