Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(4) =>• (1). Пусть Q — отделяющий (и циклический) вектор для я (9Л), и пусть {^а} — семейство взаимно ортогональных проекторов в 9Л. Полагаем Е = SA. Тогда
II Я (Е) О ||2 = (Я (Е) Q, я (Е) Q) = (я (?а)0, я (?„,) Q) = ?||я (?о) Q
а, а' а
согласно лемме 2.4.19. Так как2а||я (Еа) Q ||2 <-(-оо, то среди я (Еа) Q встретится не более счетного множества ненулевых; поэтому то же верно и для Еа.
2.5.2. Модулярная группа
Если алгебра фон Неймана a-конечна, то, согласно предложению 2.5.6, можно, не ограничивая общности, считать, что эта алгебра 2К имеет отделяющий и циклический вектор Q. Тогда отображение А ? 2R нн» AQ ? ф устанавливает взаимно-однозначное соответствие между ЗЛ и плотным подмножеством ЯШ пространства ф. Этим соответствием можно воспользоваться для того, чтобы преобразовать алгебраические операции на 2R в операции на 9RQ. Основная тема данного пункта — изучение антилиней-
2.5. Модулярная теория Томиты— Такесаки и стандартные формы 95
ного оператора S0 на 9Ш, сопоставленного операции* на алгебре 37J, а также ряда других операторов, связанных с So-
Прежде чем собственно приступить к этой теме, дадим одно определение и докажем одну лемму.
Определение 2.5.7. Пусть Ш — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Замкнутый оператор А в § называется присоединенным к 9W, если TVD (А) ^ D (А) и АА' э А'А для всех A' ?9R'; в таком случае употребляется запись
Связи между элементами алгебры и присоединенными к ней операторами посвящена следующая
Лемма 2.5.8. Предположим, что А — замкнутый оператор, присоединенный к алгебре фон Неймана 37J. Если А — И\А\ — полярное разложение А, то U и спектральные проекторы \А\ лежат в 3№.
Доказательство. Пусть U’ — унитарный элемент ЭДГ. Тогда U'UU'*U' \A\U’*= U' U \ A j U1* =- U | А |, так что, в силу единственности полярного разложения,
U'UU’* = U
и
V | А \ U'* = | Л [.
Предпоследнее равенство означает, что U ? Из последнего равенства вытекает, что спектральное разложение
ОО
| Л | = j XdE (X)
О
оператора | А | можно переписать так:
оо оо оо
j XU' dE(X)U' * = U' j XdE{X) V* = j XdE (X).
о о 0
В силу единственности спектрального разложения | А |,
U'E (X) 11'* = Е (X), т. е. Е (X) ? 5Ш при всех X > 0.
Займемся теперь антилинейным оператором S0.
Во введении был рассмотрен специальный случай следового состояния. Оказалось, что в случае следа оператор J, отвечающий S0, антиунитарен и J3RJ ^ 97J'. В частности, JMQ ^ 2Х'?1 Но, кроме того, 2Ш = J (JfflQ) s JM'Q. Таким образом, исследуя J или S0, естественно задать некий дополнительный оператор на ЗК'Й, который должен соответствовать обратной операции к операции сопряжения. Итак, мы займемся изучением двух антилиней-ных операторов S0 и F0, один из них связан с 99Ш, а другой — с SK'Q.
96
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Предложение 2.5.3 показывает, что вектор Q, циклический и отделяющий для ЭН, будет циклическим и отделяющим также для 2Н'. Поэтому антилинейные операторы1* S0 и F0, определенные равенствами для А ? ЭН и F0A'Q = A'*Q для
А’ ? 2Н', оба корректно заданы на плотных областях определения D (S0) = 2HQ и D (F0) = ЗН'Й.
Предложение 2.5.9. Определенные выше операторы S0 и Fn замыкаемы и
¦So ^о> Fo = 5о> здесь черта обозначает замыкание оператора. Далее, для всякого 1|з ? D (S0) существует такой замкнутый оператор Q в ?>, что
QQ, = i|), Q*Q = S0i|>
и Q присоединен к 2Н. Аналогичный результат справедлив и для F0.
Доказательство. Для А ? 5Ш, А' ? Ш' имеем
(Л'й, 50ЛЙ) = (A'Q, Л*0) = (AQ, Л'*й) = (Лй, F0A'Q).
Значит, F0 с: SJ. Поэтому оператор SJ плотно определен и S0 замыкаем. Ана логично, S0 с: fj.
Для проверки совпадения SJ с замыканием F0 выберем сначала ? ? D (SJ) и положим г|) = Sjg. Тогда для Л ? Ш
(AQ, г|>) == (Лй, Sffg) - (I, 50ЛЙ) - (?, Л*Й).
Далее введем операторы Q0 и Qf:
Q„: AQ i—> Al, Qfr: AQ t—> Лф
для всех Л ? Эй. Предыдущее соотношение позволяет заключить, что для любых Л, В ? Эй
(BQ, <20ЛЙ) == (BQ, At) = (A*BQ, g)
= (t|>, 5MQ) = (5i|>, AQ) = (<#ВЙ, ЛЙ).
Следовательно, QJ; ?= QS, п оператор Q0 допускает замыкание. Пусть Q’ — Q0. Если Л, В ? 2Ji, то
<20ЛВЙ = ABl AQ0BQ.
Тем самым для замкнутого Q' имеем
Q'A э Л<3',
т. е. Л отображает D (Q') в D (Q’) и коммутирует с Q'. на D (Q'). Значит, по лемме 2.5.8, если Q' = ?/'|Q'| — полярное разложение Q', то V ? ШГ и все спектральные проекторы |Q'| лежат в Эй'. Пусть Е'п ? 931' обозначает спектральный проектор | Q' |, соответствующий промежутку [0, я], и
