Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом,
!(«, А) || <|| (а, Л)*||.
1; Кроме того, подразумевается, что (3 (а, А) = (Ра, РЛ) для Р ? С. — Прим. перев.
30
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Заменяя (а, А) на (а, А)*, приходим к противоположному неравенству. Следовательно.
|| (а, А) |р < || (а, А)* (а, А) || < || (а, А) р, т. е. необходимое свойство проверено.
Полнота ЭГ сразу же выводится из полноты С и ЭГ.
Определение 2.1.6. Пусть С* -алгебра 91 не содержит единицы. Описанную в предложении 2.1.5 С*-алгебру 91 назовем С*-алгеброй, полученной присоединением единицы 11 к 91. Элементы (а, А) алгебры € будем записывать в виде ai + А, а саму эту алгебру — в виде 91 = СИ + 9L
Отметим, что у С*-алгебры 91 с единицей И могут существовать С*-подалгебры 33, не имеющие единицы. В таком случае алгебру
S, полученную присоединением единицы к 23, можно отождествить с наименьшей С*-подалгеброй в 9Х, содержащей и 23, и И.
Хотя рассмотренная нами конструкция существенно облегчает изучение С*-алгебр без единицы, с ее помощью снимаются не все проблемы, связанные с отсутствием единицы. Другой подход, состоящий в построении «аппроксимативной единицы», будет рассмотрен в пункте 2.2.3.
Теперь мы обратимся к ряду понятий, постоянно встречающихся в алгебраических теориях.
Подпространство 23 алгебры 91 называют левым идеалом, если из А ? 91 иБ?23 следует, чтоЛБ^ЗЗ. Соответственно 23 будет правым идеалом, если Л ?91 и В? 23 влечет В А ? 23. Идеал 23, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним. Заметим, что всякий идеал автоматически оказывается алгеброй. Например, если 23 — левый идеал и Въ В2 ? 23, то, разумеется, Вг ? 91, В2 ? 23, так что ВгВ2 ? 23. Далее, заметим, что левый (или правый) идеал 23 алгебры 91 с инволюцией автоматически будет двусторонним, если он самосопряжен. Действительно, пусть В ? 23. Тогда АВ ? 23 при всех Л 6 91. В силу самосопряженности, В* ? 23; следовательно, А*В* ? 23 при всех Л ? 91. Опять-таки в силу самосопряженности, В А = (А* В*)* ? 23. Тем самым идеал 23 двусторонний.
Если 91 — банахова *-алгебра и 3^91 — ее замкнутый двусторонний *-идеал, то факторпространство 91/5 также можно рассматривать как банахову *-алгебру. Напомним, что элементами
91/3 являются множества Л элементов из 91, которые сопоставляются элементам Л ? 91 по правилу
л^л = [А + /, /ез}.
Умножение, сложение и инволюция для этих классов эквивалентности вводятся так: АВ - АВ, А + В = А + В и А* = А*. Корректность этих операций, т. е. независимость от выбора конк-
2.1. С*-алгебры
31
ретных представителей А + 1г класса | А | и В + /2 класса | В|,
гарантируется тем, что идеал 3 двусторонний. Например,
(A -f- /1) (В -)- /2) = АВ —(— /з,
где
/3 = 1гВ -j- AIо 4' 3-
Факторпространство 91/3 становится банаховой *-алгеброй, если ввести норму
II л к = inf {ц л + /«, /еЗ|.
Легко проверить, что при таком определении выполнены все
свойства нормы и 91/3 полно по этой норме. Менее очевидно, что 91/3, наделенное такой структурой, окажется С*-алгеброй. Доказательство этого утверждения мы отложим до пункта 2.2.3.
Пример 2.1.8. Рассмотрим С*-алгебру S (ф) всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ф. Выберем вектор й 4 Ф и положим
30=М; А?Ж, Лй = 0}.
Множество Qq является левым идеалом в St.
Пример 2.1.8. Пусть St = & (ф) и 33 = S'S (ф) (алгебра всех компактных операторов в §). Подалгебра S3 образует двусторонний идеал в St, потому что произведение ограниченного оператора и компактного является компактным оператором.
Пример 2.1.9. Пусть St = С0 (X) — коммутативная С*-алгебра из примера 2.1.4. Если F — замкнутое подмножество в X и 33 состоит из элементов St, обращающихся в нуль на F, то $ — замкнутый двусторонний идеал в St, причем St/95 можно отождествить с С0 (F). Применяя теорему Стоуна — Вейерштрасса, можно показать, что так устроен всякий замкнутый двусторонний идеал алгебры St.
Банахова алгебра 91 называется простой, если в ней нет нетривиальных замкнутых двусторонних идеалов, т. е. единственными замкнутыми двусторонними идеалами являются {0} и 91. Если 91 имеет единицу, то простота равносильна отсутствию любых двусторонних идеалов, замкнутых или нет. Простые С*-алгебры играют фундаментальную роль в приложениях к математической физике.
В заключение этого вводного раздела приведем основные структурные теоремы для С*-алгебр. Примеры 2.1.2—2.1.4 показывают, что равномерно замкнутые самосопряженные подалгебры алгебр S? (f>) будут С*-алгебрами; кроме того, примером коммутативной С*-алгебры служит алгебра функций С0 (X). Структурные теоремы утверждают, что этими случаями и исчерпывается общая ситуация.
32
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Теорема 2.1.10. Пусть 91 — любая С* -алгебра. Тогда 51 изоморфна некоторой замкнутой по норме самосопряженной алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
