Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
р (А) = lim 1 Ла” ||2—” = || А ||.
п~> СО
б) Доказательство аналогично а), так как
II А‘" f = ||(Л'Т А" I = (АT_1 A”-1 | = li|=i.-
в) Поскольку всякий унитарный элемент изометричен, Ощ- (Л) содержится в единичном круге ввиду б). Но в силу предложения 2.2.3
(А) — (А*) = °эд; *) = (^)) 1.
Комбинируя эти факты, получаем сразу, что Ощ (Л) лежит на единичной окруж-
ности.
г) Всякий самсспряженный Л автоматически нормален, поэтому р (Л) =
= || Л ||. Следовательно, при |Я-11 !> || Л )) имеем Я"1 ? Гщ (Л), и 11 -j- i\ Я | Л обра-
тим. Зададим U ? St, полагая
U = (1 — /1 Я | А) (1 + i | Я | А)-1.
Немедленно проверяется, что U унитарен, так что элемент 11(1 — /|Я|а)(1 +
-(- (' | Я | а)'1 — U обратим при всех а ? С с Im а =^= 0, в силу в). Однако
11 (1 — / | Я | а) (1 + i | Я | а)“* - U =
= 2i | Я | (1 + /1 Я 1 а)~1 (Л - а11) (1 + i |Я| А)~\
следовательно, Л — all обратим для всех а с Im а ф 0. Поэтому Стщ (Л) g R f| П {Я; J Я | <|| Л И) = [—1| Л ||, ||Л||]. Утверждение о (Л2) вытекает из д).
д) Сперва заметим, что элемент
B=flAit
38
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
где А,- ? St и AiAj = АуА,- при i, j = 1, га, обратим тогда и только тогда, когда все Аг- обратимы. В одну сторону это так, поскольку из обратимости А,-и коммутативности A,-, Aj вытекает АУ^Ау^ = Ау^Ау1, следовательно,
е-> = ПаД i=l
причем порядок сомножителей безразличен.
В обратную сторону, если В обратим, то
Ау1 =5-* Па..
Ж
Выберем аг-, а ? С так, чтобы
п
Р (х) — X = а ГГ (х — ai). i—1
Т огда
п
Р (А) — ЯП = а ГГ И — а,-Ц).
i=i
Таким образом, X ? Стщ (Р (А)) в том и только том случае, когда ? Стщ (А) при некотором7 = 1.....п. Но Я (а,-) = X, так что X ? Стщ (Я (А)) эквивалентно
^ € Я (*ЯИ)).
Замечание. Если А нормален, то последнее утверждение можно обобщить, а именно (f (А)) = f ^о^(А)^ для всякой
непрерывной функции f. Этот результат известен как теорема об отображении спектра.
Формула р (А) — J Л I для спектрального радиуса самосопряженного или нормального А имеет основополагающее значение в теории, и мы постоянно будем ею пользоваться без всяких комментариев.
Следствие 2.2.6. Если на*-алгебре 31 существует С*-норма, по которой 31 полна, то такая норма единственна.
Доказательство. Для A f Щ спектр Стщ (А) зависит только от алгебраической структуры St. Тем самым для А = А* спектральный радиус р (А) = ||А|| определяет С*-норму единственным образом. Для произвольного А
|| А || = ||А*А Ц1/2 = р (А*А)1//2.
Этими сведениями о спектрах самосопряженных элементов можно воспользоваться для устранения известной неопределенности в понятии спектра. Дело в том, что для элемента А из подалгебры 23 алгебры 31 можно рассматривать и спектр (А), и спектр сг^ (А). В общем случае эти спектры не совпадают, хотя из включения 33 s 31 вытекает, что (A) s (Л]. В ОЧдгебр ситуация очень проста,
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
39
Предложение 2.2.7. Пусть С*-алгебра 91 имеет С*-подалгебру 33. Если А ? 33, то
= СТ33(^)-
Доказательство. Можно считать, что у St и 33 общий единичный элемент. Нам надо показать, что элемент ЯП — А, обратимый в SI, будет обратим и в 33.
В действительности мы покажем, что он обратим в С*-подалгебре G, порожденной элементами 11, А и А*. Отсюда будет следовать, что
ст(? ^ = ^ = ст21
Итак, надлежит проверить, что обратимость А ? Ш влечет Л-1 ? Е. Пусть сначала А самосопряжен; тогда 0g. (A) s R, в силу предложения 2.2.5. Элемент
Л'1 можно получить аналитическим продолжением (Л — ЯП)-1 вдоль мнимой оси, отправляясь от точки Я = Я0 = 2i ]| Л ]|. Прежде всего заметим, что (Л — ЯоИ)"1 задается равномерно сходящимся рядом
(Л - Я0И) 1 = — ^ Я0 1 (j-) ,
О
каждый член которого принадлежит G. Значит, (Л — ЯоИ)-1 ? Ё. Далее, при Я ф. сТщ-(Л) резольвента R (Я) = (Л — ЯП)-1 — нормальный элемент, и o^(R(k)) =
= стщ; И—М)-1 = И)— согласно предложению 2.2.3. Если d (Я)
обозначает расстояние от точки Я до (Л), то из теоремы 2.2.5 следует, что
|| R (Я) || = d (Я)-1, и эта оценка означает, что ряд
R (Я) = 2 (Я — Я0)п R (Яо)^1
п> о
сходится в круге радиуса d (Я0) = || R (Я0)||-1 с центром в точке Я0. Это гарантирует применимость принципа аналитического продолжения, так как d (Я0) >
