Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, верна оценка непрерывности, равномерная по k.
< |^-^|IHIISUPII W -А) Т-
v?SA
(Супремум конечен, так как функция Я i—=»• || (ЯП — А) 11| непрерывна на т^ (Л)
и при | Я | > IЛ ||
|| (ЯП - Л)"1 I < | Я Г1 J] 1 Л ||7| Я |п = (| Я | - || Л И)-1.)
0
Отсюда сразу получаем, что для любого е> 0 найдется такое Я> гА, что
п
Использующие равенство ^ ш* = 0.'—Прим. перев. А—1
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
35
равномерно по я* Однако Цл^Ц/Я” —>• 0 и сделанное выше наблюдение показывает, что || (| — А "А'1)"1 — 111|—> 0. Но тогда || — Anjrnp^~1 — 11|—> 0, и вто-
ричная ссылка на наше наблюдение дает || Ап §//^ —>• 0, в противоречие с определением гА. Тем самым доказательство завершено.
Другая полезная при изучении резольвент и пр. техника основана на применении разного рода преобразований. Например, тождество
(П - Л") = (М - А) (Я,"-1! + Г~2Л + • • • + Ап~1) показывает, что из %п ? щ (Л") следует % ? гщ (Л), Переходя-к дополнениям, получаем 0щ (Л)" s с% (Лп). Другие примеры соотношений, связанных с простыми преобразованиями, содержит следующее
Предложение 2.2.3. Пусть 91 — инволютивная алгебра с единицей. Для А ? 91 и К ? С
(ЯП — Л) = % — (Л),
(А*) = (Л)
и, если А обратим,
а® (А"1) = ож (Л)-1.
Кроме того, для любых А, В ? 91
0я(ЛВ)и{О} =0я(ВЛ)и{О}.
Доказательство. Первое свойство очевидно; второе вытекает из соотношения (Я| — А*) = (Я| — А)*.
Третье свойство следует из двух соотношений
(Я| — А) = ХА (Л’1 — Аг1!)
и
(ЯгИ - А'1) = ЯгМ-1 (А — ЯП).
В самом деле, в силу первого соотношения, если Я =j= 0 и ЯП —А необратим^ то Я_111 — Л-1 тоже необратим, и наоборот, согласно второму ^соотношению. Исключительная точка Я = 0 не доставляет неприятностей, потому что из обратимости А следует, что 0 ф (Л) и
°ЭГ (Л-1) — (Я; |Я|<||Л-1||< + оо}.
Наконец, если Я 6 (ВА), то можно получить равенство
(ЯП — АВЩ + А (ЯП — ВАУ1 В) = ЯП,
которое означает, что ЯЦ — АВ обратим за исключением, быть может, Я = 0. Значит, cr^ (ВА) (J {0} э сГщ (АВ) U {0}. Меняя ролями Л и В, получаем
обратное включение, т. е. совпадение множеств.
36
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Другие примеры соотношений между спектрами* возникающих при простых преобразованиях элементов, мы рассмотрим для элементов С*-алгебр. Но прежде примем соглашение, что понимать под спектром элемента, если алгебра не содержит единицы. Проще всего единицу присоединить.
Определение 2.2.4. Пусть С*-алгебра 91 не имеет единицы и 91 = СИ + 2( обозначает С*-алгебру, полученную присоединением единицы. Для А ? 21 определим резольвентное множество Лд (А) и спектр (А) соответственно равенствами
/щ (А) = г„ (А) и стя (А) = сг~ (А).
Теперь мы дадим частичную характеризацию спектров для некоторых классов элементов С*-алгебры 91. Самыми важными в теории являются нормальные, самосопряженные, изометрические и унитарные элементы.
Элемент А ? 91 именуют нормальным, если
АА* = А*А, и самосопряженным, если
А = А*.
Если 91 имеет единицу И, то А называют изометрическим или изометрией, когда
А* А = И,
и унитарным, когда
А* А = 1 = АА*.
Отметим, что произвольный элемент 91 обладает единственным разложением вида
„ А = А\ -J- iAj,
где Ах и Аг — самосопряженные элементы. Эти элементы называются соответственно вещественной и мнимой частями А и задаются формулами Ai — (А + А*)/2 и Аг = (А — A*)/2i.
Наше соглашение о спектре, содержащееся в определении
2.2.4, позволяет фактически предполагать существование единицы¦ в случае С*-алгебр. Имеет место
Теорема 2.2.5. Пусть С*-алгебра 91 обладает единицей.
а) Если А ? 91 нормален или самосопряжен, то его спектральный радиус р (А) равен норме:
р(Л) = ||Л||.
б) Если А ? 91 изометричен или унитарен, mq
Р (А) = 1.
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
37
в) Если Л ? 21 унитарен, то
Х?С,\Ц = 1\.
г) Если А самосопряжен, то
ая(Л)?=[-ИИ. ||Л|], ая(Л2)г[0, \\Af\.
д) Для всякого Л^ЭД и любого полинома Р
ап(Р(А)) = Р(а^(А)).
Доказательство, а) Нормальность Л и С*-свойство нормы влекут выполнение равенств
II л2" II2 = II (А*Г а2П II = 1(Л*Л)*7 II = II (А*АГ~1Т =
= ... = ||a*a12,! = II л ||2«+‘*
