Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
I. Введение
19
применяется надежная теоретическая модель. Но рассматриваемая жидкость, как всякое вещество, состоит из атомных частиц, так что идеализированная «бесконечная» жидкость, имея конечную плотность, должна содержать бесконечно много частиц, т. е. теоретическая модель жидкости есть модель с бесконечным числом частиц.
Прежде чем объяснять, как применяются для описания таких бесконечных ' систем алгебраические методы, подчеркнем, что в термодинамике отнюдь не все важные величины устойчивы относительно возмущений. В самом деле, наиболее интересные явления — фазовые переходы — связаны как раз с неустойчивостью. Вот типичный пример: если в замкнутом сосуде, содержащем некоторое количество жидкости, при постоянной температуре уменьшать давление, то по достижении некоторого критического давления вся жидкость испарится; при малых изменениях давления вблизи этой критической величины мы получаем совсем различные термодинамические состояния, или фазы. Аналогичным образом можно при постоянном давлении повышать температуру; тогда при критической температуре происходит фазовый переход жидкость—пар, и малым вариациям температуры вблизи критической отвечают значительные изменения некоторых величин, таких как плотность. При критическом давлении или критической температуре могут сосуществовать разные смеси пара и жидкости
и, следовательно, состояние равновесия не единственно. Тем самым плотность, удельная теплоемкость и прочие величины, хорошо определенные почти во всем диапазоне значений давления и температуры, не имеют точного смысла при некоторых критических значениях термодинамических параметров. Можно поэтому ожидать, что теоретические аналоги этих величин будут функциями, резко меняющимися вблизи критических значений аргументов. Здесь вновь оказывается полезной идеализация термодинамического предела, ибо быстрому изменению величин, подсчитанных для системы в конечном объеме, в пределе бесконечного объема соответствует нарушение непрерывности. Этот факт появления разрывного поведения величин иногда выдвигается в качестве оправдания термодинамического предельного перехода.
Теперь обратимся к роли С*-алгебр и W*-алгебр в описании систем с бесконечным числом частиц.
Если начать с рассмотрения конечной системы, локализованной пространственно в конечной области Л, то алгебраическая версия квантовой механики, набросок которой был дан выше, предписывает отождествить соответствующие наблюдаемые с самосопряженными элементами некоторой С*-алгебры 91Л. Поэтому наблюдаемые, отвечающие системе произвольно большого объема, должны определяться объединением этих 9ХЛ- В конкретных моделях с точечными частицами в качестве ЩЛ выступает либо С*-алгебра,
20
1. введение
порожденная операторами Вейля, действующими в пространстве ?Л представления Фока-Кука, либо алгебра всех ограниченных операторов в ?Л. Но в любом случае, если Л г с Л2, соответствующие алгебры подчиняются условию 4lAl а ^л2' Можно показать (теорема 2.2.5 и предложение 2.2.7), что если А ? 91Л, П то норма А как элемента ?1Л. одна и та же при i — 1 и i — 2. Отсюда следует, что объединение всех 91Л имеет единственное пополнение по норме, которое является С*-алгеброй. Эта алгебра 91 конструируется безо всяких ссылок на конкретные состояния или представления системы и может истолковываться как С*-алгебра наблюдаемых бесконечной системы. Алгебры, построенные таким образом по семейству подалгебр ЭДЛ, обычно называют квазилокальными, а алгебры 91 д— локальными. Уже в статье Мюррея и фон Неймана 1934 г. в качестве одной из мотивировок изучения W*-алгебр в контексте квантовой механики упоминается взаимосвязь алгебр, соответствующих наблюдаемым, локализованным в удаленных друг от друга частях системы. Тем не менее лишь в 1957 г. Хааг обратил внимание на важность квазилокальной структуры в моделях теории поля, а в квантовой статистической механике ее начали применять только в 60-е годы; эта алгебраическая структура оказалась весьма полезной при квантово-статистическом изучении равновесных состояний.
Правила квантовой статистической механики дают нам различные алгоритмы построения равновесных состояний сол, а системы, заключенной в «сосуд» Л. С помощью ансамблей Гиббса удается трактовать эти состояния как состояния на алгебре 91д • Индекс а обозначает термодинамические параметры; скажем, а может представлять температуру и плотность или же температуру и химический потенциал; упомянутые выше алгоритмы зависят от этого выбора параметризации. В соответствии с нашим предыдущим обсуждением можно попытаться найти термодинамический предел состояний соЛ> а, т. е. вычислить для любого А ?91Л
Сйа(Л) = lima)A', а{А),
Л'^-оо
где подразумевается, что Л' возрастает так, что поглотит любое наперед заданное компактное подмножество. Множество значений соа (А) представляет тогда равновесные данные, не зависящие от объема и формы. Можно предполагать, что такие пределы существуют при всех а, за исключением отдельных критических значений, а при этих критических значениях существует несколько различных предельных точек. Каждый набор таких предельных значений описывает возможную равновесную ситуацию, т. е. существует несколько независимых термодинамических фаз. Поскольку каждые предельные данные определяют некоторое состояние юа на 91, равновесные состояния системы образуют подмно-
