Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
f (А,Х)* f (А,Х) = f (А*,Х)* f (А*,Х).
Отсюда выводим, что элемент Ui = f (А, X) f (А*, X)'1 унитарен при | X | = 1. Функция
U (X) = (Ц — АА*)-1'2 (ЛИ + А) (И + М*)-1 (Ц - А*А)1'2
аналитична в некоторой окрестности замкнутого единичного круга и при | X | = 1 выполняется равенство U (Л) = XU- . Кроме того,
U (0) = (И — АА*)-1'2 А (И — Л*Л)‘/2
= (И — ЛЛ*)“1/2 (И — ЛА*)1/2 А = А.
По интегральной формуле Коши
2Я
А = (2я)“1 j U(e?t)dt;
о
интеграл здесь существует как риманов интеграл. Следовательно, открытый единичный шар в St содержится в замкнутой выпуклой оболочке унитарных элементов, что и доказывает предложение.
Предложение 3.2.5 имеет следующее следствие, которое мы уже доказали для случая состояний (предложение 2.3.11).
Следствие 3.2.6. Пусть ер — линейное отображение между С*-алгебрами с единицей 21 «23, и пусть <р (И) = И. Отображение ф положительно тогда и только тогда, когда\}ф|| = 1.
Доказательство. Если ||ф|| — 1 и о) — состояние алгебры S3, то со оф (11)= 1 и I со о ф I ^ || со || || ф || = 1, так что сооф оказывается состоянием Ж, в силу предложения 2.3.11. Значит, ф положительно.
В другую сторону, если ф положительно и Л = Л * ? St, то —1| Л || 11 ^ Л ^
< || А || 11 и —1| А || 11 < ф (А) < || А || 11. Следовательно, || ф (Л) || < || А ||, если А = = Л*, и || ф (Л) |j ^ 21| А || для всякого Л, что проверяется разложением Л на самосопряженные элементы. Тем самым установлена непрерывность ф. Для унитарного U ? St из предложения 3.2.4 следует, что
II Ф (U) II3 = II ф (U)* ф (U) ||< II ф (U*U) II = II ф (И) II = 1. Непрерывность ф в сочетании с предложением 3.2.5 влечет равенство ||ф|| = 1.
Доказательство теоремы 3.2.3. Импликация (1) =!- (2) вытекает из предложения 3.2.2, импликация (2) =>- (3) тривиальна. Далее, выполнение (3), (II) влечет положительность ф и qr1. Из следствия 3.2.6 вытекает тогда, что ЦфЦ ^ ^ 1, || ф-1 II 1; так что ф — изометрия. Этим проверяется импликация (3) =*> =*¦ (4). Эквивалентность (4) ¦<=>¦ (5) выводится из следствия 3.2,6, а (5) ¦<=>¦ (6) три-.
222
3. Группы, полугруппы и генераторы
виальна. Наконец, докажем, что (5) =*- (1). Если А = А* ? St, то, применив к ф и ф-1 предложение 3.2.4, получим ф (Л2) > ф (Л)2 = ф (ф-1 (ф (Л)2)) >
> ф ((ф-1 (ф (Л)))2) = ф (Л2). Следовательно, ф (Л2) = ф (Л)2 при А = Л*. Для Л = Л* ? Щ, В = В* ? Ш. используем тождество (Л + В)2 — Л2 — В2 = = АВ + ВА = {Л, В}, и заключаем, что ф ({Л, В}) = {ф (Л), ф (В)}. Для произвольных Л и В это соотношение справедливо по линейности.
У теоремы 3.2.3 есть различные интересные следствия, относящиеся к аффинным отображениям состояний и к однопараметрическим группам автоморфизмов. Остальная часть этого пункта посвящается выводу этих следствий и иллюстрирующим их примерам. Хотя вывод этот в общем несложен, он связан с определенной техникой, с которой предварительно надо познакомиться. Прежде всего, для изучения отображений состояний удобно расширить эти отображения на все двойственное или преддвойственное пространство алгебры. Для этой цели нужна некоторая информация о разложении линейных функционалов на С*-алгеб-рах и алгебрах фон Неймана.
Мы начнем с определения эрмитова функционала г]на С*-алгеб-ре 91 как функционала со свойством iq (А*) = г] (Л). Ясно, что состояния этим свойством зрмитовости обладают и что эрмитов функционал вполне определяется своим сужением на вещественное пространство 3tsa самосопряженных элементов алгебры 31.
Предложение 3.2.7 (йорданово разложение). Если т] — непрерывный линейный функционал на С*-алгебре 31 (т. е. г| ? ? ')!*), то т] обладает единственным разложением вида т] = = rji + h]2, где %, ti2 — два эрмитовых функционала. А именно:
гц (А) = (л (А) + гПЛ*))/2, гь (А) = (л (А) ~ ^W))!2i. Если 31 = — алгебра фон Неймана и ц ? Ш%, то т^, г\2 ?
€ ЭК,.
Если Ш — алгебра фон Неймана и функционал г] ? эрмитов, то существует единственная пара элементов %, т]2 ? со свойствами
л = ти — -Па, 1 Л I = hill + II Лг И-
Если С*-алгебре 31 сопоставить алгебру фон Неймана 91" =
— |©ы ? ?^лшj т0 всякий элемент г] ? 31* единственным
образом продолжается до о-слабо непрерывного линейного функционала на 31" и 31" тождественна пространству 31** (второму сопряженному для 91). Если функционал т] ? 51* эрмитов, то существует единственная пара элементов т^, ri2 ? 31* со свойствами
Л = Лх — Ла. II Л II = II i'll II + II1I2 11-
Доказательство. Существование и единственность разложения на эрмитовы функционалы не требуют обсуждения. В случае т) ? ЯК* мы имеем т) (А) = = 2i[(h, Лф(). так что Т] (А*) = 2 j (фг, Л^)- Следовательно, гц, т]* ? SOI,.
3.2. Теория для случая алгебр
223
Теперь допустим, что r| ? 2К* эрмитов и ||т)|| = 1. В силу ст-слабой компактности SJli, найдется такой элемент А ? что т] (А) = 1 = г| (Л*). Поэтому, заменив А на (А + А*)/2, можно считать, что А = А*.
