Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
построенной по со ? Имеем ф*со0 = со0. Возьмем теперь элемент А = А* и выберем Ка, содержащее А. Тогда
(ф*г]) (А) = X (ф*со0) [А) + (ф*т)') (А) < ?iC00 (A) -f- sup ц'(В)
в?ка
< sup Хсо0 (В) + sup V (В) < sup (Ясо0 + т)') (В) = sup т)(В). в?ка ' в?ка вС2Ка в?2Ка ,
Следовательно, г| |—> (ф#т1)(А) будет т (91|а, 9^а)-непрерывным функционалом иэ 91*а — множества эрмитовых функционалов на St, или, что тоже, простран*
3.2. Теория для случая алгебр
229
ства, сопряженного вещественному банахову пространству SCsa. По теореме Макки — Аренса, найдется такое В ? SJsa. что
(Ф*1!) (А) = г) (В), т) € Ща.
Введем ф так, чтобы В = ф (Л).
Аналогичное рассмотрение ф;1 показывает, что ф обратимо, поэтому ф (SC) = = SC. Положительность отображений ф и ф-1 очевидна. Заметив еще, что
?0 (ф (И)) = (ф*со) (11) = 1 = со (И),
приходим к равенству ф (1) = 1, и теперь теорема 3.2.3 позволяет утверждать: Ф — Йорданов автоморфизм St.
До сих пор при изучении положительных отображений и йордановых автоморфизмов наше внимание было сосредоточено на свойствах индивидуальных отображений. Теперь мы займемся однопараметрическими группами таких отображений. Все предыдущие результаты естественным образом можно было бы обобщить, однако мы хотим сейчас показать, что, пользуясь свойствами непрерывности группы, можно усилить предшествующие утверждения. В частности, однопараметрическая группа аффинных отображений состояний, обладающая надлежащим свойством сильной непрерывности, приводит к однопараметрической группе *-автоморфизмов, а не просто йордановых автоморфизмов. Этот факт составляет часть содержания приводимого ниже следствия.
Следствие 3.2.12. Пусть —сильно непрерывная одно-
параметрическая группа отображений С*-алгебры % с единицей И, и пусть at (Ц) = 1 при всех t (j R. Следующие условия эквивалентны:
(1) все а( являются *-автоморфизмами
(2) J ос, 1 -с 1 при всех t ? R;
(3) at (21+) ^ %+ при всех t ? R;
(4) at s Е<% при всех t ? R.
Доказательство. Согласно теореме 3.2.3, достаточно показать, что сильно непрерывная группа а, йордановых автоморфизмов 91 является группой *-автоморфизмов. Но если я — неприводимое представление 91, то я°а, при каждом t— либо морфизм, либо антиморфизм Щ, в силу предложения 3.2.2. Из непрерывности 11—а- я (at(A)) при каждом Л ? 91 легко вывести, что множество °И (соотв. Т), состоящее из тех t, для которых я°а, —морфизм (соотв. антиморфизм), замкнуто. Следовательно, оба множества 41 и Ж и открыты, и замкнуты.
Поскольку R связно и 0 ? Ш, то °IL = R, т. е. все я°а, —морфизмы. Прямая сумма неприводимых представлений алгебры Щ по лемме 2.3.23 является точным представлением, поэтому каждый морфизм at окажется *-автоморфизмом.
Аналогичная ситуация имеет место для некоторых специальных алгебр фон Неймана и сг-слабо непрерывных групп.
Следствие 3.2.13. Пусть t\->at—однопараметрическая G-слабо непрерывная группа отображений алгебры фон Неймана ЭЯ U а( (Ц) = U при каждом t ? R. Пусть f) Е^ —
230
3. Группы, полугруппы и генераторы
множество нормальных состояний на 2К. Предположим, что ЯК — фактор или абелева алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) at при каждом t ? R является *-автоморфизмом" Ш;
(2) || а, I с 1 при всех t ? R;
(3) at (ЗК+) s Ш+ при всех t ? R;
(4) аt ^ N<$i при всех t ? R.
Доказательство. То, что (1) =>¦ (2) =>- (3), очевидным образом следует из теоремы 3.2.3. Но из условия (3) вытекает, что а; (®1+)=5Щ+, (ЯЛ+) =ЯЛ+.
Значит, для всякой возрастающей сети Аа в 5Ш+, сходящейся к Л, сеть a t (Аа)
сходится к at (А). Тем самым (3) =>¦ (4), а импликация (4) =>¦ (3) тривиальна. Для проверки импликации (3) => (1) достаточно показать, что всякая сг-слабо непрерывная группа йордановых автоморфизмов ЯК есть группа *-автоморфизмов. Такое свойство очевидно в случае абелевой 3R. Если 9К — фактор, то, согласно предложению 3.2.2, каждый морфизм at — либо автоморфизм, либо антиавтоморфизм. Рассуждения из доказательства предыдущего следствия, опирающиеся на связность R, показывают, что все at будут ‘-автоморфизмами.
Отметим, что для общих алгебр фон Неймана следствие 3.2.13 неверно—можно построить контрпримеры (см. замечания и комментарии к главе).
В качестве иллюстрации этих результатов проведем классификацию всех йордановых автоморфизмов алгебры 9? (?>), а тем самым и всех порядковых автоморфизмов, или изометрий, ср с ф (Ц) = 1. Эта классификация решает проблему, обсуждавшуюся во введении к данному пункту, — получить характеризацию вигнеровых симметрий. Во введении мы установили уже, что всякая вигнерова симметрия определяет аффинное обратимое отображение ф* нормальных состояний алгебры фон Неймана З7^). Но теорема 3.2.8 тогда приводит к заключению, что ф* сопряжено с некоторым йордановым автоморфизмом ф алгебры 3? (?). Следующий пример проясняет, как действует ф на S' (?>) и каково результирующее действие на § симметрии Вигнера.
