Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3.2.14. Так как алгебра 2? (ф) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф — фактор, то всякий Йорданов автоморфизм а — либо автоморфизм, либо антиавтоморфизм, по теореме 3.2.3. Предположим сначала, что а — автоморфизм. Пусть fi — фиксированный единичный вектор в § и ? ? S’ (§) — ортогональный проектор на подпространство CQ. Поскольку Е — минимальный ненулевой проектор, то же самое верно и для F = = аг1 (Е). Следовательно, = С?, где | — некоторый единичный вектор. Определим оператор U на § формулой]
UA%= а (Л)й, А ? & (,$).
Из соотношений
II А\|| = || AFl II = || AF\\ = \\a(AF) || = Цое (А) ?|| = ||а (A) ?Q|| = ||а (A) Q ||
следует, что U корректно определен и изометричен. Так как область значений U совпадает с 3? (ф) Q = то U унитарен и U* = U'1 задается соотношением
l/MQ = а’1 (А) I, А ? S (§).
3.2. Теория для случая алгебр
231
Таким образом, для А, В ? 3! (?))
UAU*BQ = UAa-1 (В) ? = а [А) ВО,,
т. е. а (Л) = UAU*. Мы видим, что все автоморфизмы ЗВ (§) непременно внутренние, и группа автоморфизмов Aut (3? (§)) изоморфна группе унитарных операторов в факторизованной по подгруппе {А,Ц; j Л, | = 1}.
Пусть {Eij}it j — полный набор матричных единиц в 5? (§); зададим на нем
а„ (Eij) = Eji.
Прямым вычислением проверяется, что ст0 можно расширить до антиавтоморфизма 2 (§j), для которого Стд = I. Если теперь а — произвольный антиавтоморфизм 3? (§j), то а°а0 будет автоморфизмом. Таким образом, можно указать такой унитарный оператор U ? S’ (§), что
а (Л) = Uo0 (Л) U*.
Такова структура произвольного антиавтоморфизма алгебры 3? (ф).
Можно воспользоваться этой конструкцией и для классификации непрерывных групп at *-автоморфизмов или *-антиавтоморфизмов. При каждом t выберем единичный вектор из области значений a_t (Е) и введем U{, полагая
UtAlt = at (A) Q.
Векторы определены с точностью до произвольного фазового множителя, и, следовательно, Ut образуют группу с точностью до такого множителя, т. е. UsUtU_s_t = ехр [iy (s, /)}, где у (ч, t) ? R, у — некоторая функция. Тем не менее можно показать, что в случае <%або* непрерывной группы at возможен согласованный выбор фаз векторов ?*, при котором соответствующие Ut образуют однопараметрическую группу, непрерывную по t в слабой, а значит и в сильной топологии. Фактически этот результат будет получен в следующем пункте несколько иным методом (пример 3.2.35).
Закончим описание вигнеровых симметрий, возможных для систем с гильбертовым пространством §, замечанием о том, что любая такая симметрия а расширяется до автоморфизма или антиавтоморфизма ф алгебры 9? (?), а действие а на § определяется действием ф на проекторы ранга 1 в 9? (ф). Всегда справедливо равенство
а (гр) = ?л|),
где U — либо унитарный, либо антиунитарный оператор, определенный с точностью до фазы. Действие однопараметрических групп симметрий Вигнера также указано в следующем пункте (после примера 3.2.35).
Теперь оставим примеры и вернемся к обсуждению йордановых автоморфизмов алгебры фон Неймана 9№. Для этой цели удобно иметь дело со стандартной формой алгебры поэтому до конца пункта будет предполагаться, что обладает циклическим и отделяющим вектором Я, a A, J, & обозначают соответствующие модулярный оператор, модулярную инволюцию и естественный положительный конус. Напомним, что & определяется как замыкание множества |Aj (А) Я; А ? 3JJ}, где j (А) = J A J; иначе его можно определить как замыкание множества А ? 9К+} (предложение 2.5.26). Важно также, что элемент
232
3. Группы, полугруппы и генераторы
? ? является одновременно циклическим и отделяющим для 3R, если известно, что он либо циклический, либо отделяющий. Кроме того, если | ? 9* — циклический и отделяющий, то инволюция отвечающая паре {3R, совпадает с /, а соответствующий положительный конус 9** совпадает с 9* (предложение 2.5.30).
Конус 5я применялся в разделе 2.5 при доказательстве унитарной выполнимости любого *-автоморфизма а алгебры 9К, т. е. доказательстве существования такого унитарного U (а), что а (Л) = U (oc) AU (а)* при всех А ? ЗЙ. Теперь мы используем этот конус для получения описания йордановых автоморфизмов ЗЯ.
Теорема 3.2.15. Пусть Ш — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором Q, и пусть А, /, 9> обозначают ассоциированные с ними модулярный оператор, модулярную инволюцию и естественный положительный конус. Если U — любой унитарный оператор со свойством U9> = 9>, то существует и единствен такой йорданов автоморфизм а алгебры Ш, что
а, а (А) ?) =*(?, UAU4) (*)
при всех А ? 3)? и ? ? 9>.
Наоборот, если а — йорданов автоморфизм ЗЯ, то существует единственный унитарный оператор U, для которого U9* = 9*, и внрвь справедливо соотношение (*).
Если в любом из этих случаев Е ? 2К П Зй' — такой проектор, что А ? 2R а (А) Е — морфизм и А ? ЗК >—*¦ а (А) (1 — Е) — антиморфизм (см. предложение 3.2.2), то
