Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Теория для случая алгебр
243
Введем функционал ®АуС как единственное продолжение по непрерывности на Я функционала на D (б)
В е D (б) I—:- ш (Лб (В) С) = ША> с (В).
Ясно, что он также входит в область определения б*. Значит, D (б*) содержит подпространство в Я*, натянутое на множество |шА)С; А, С ? D (б)}. Однако это множество а (Я*, Я)-плотно, так как в противном случае по теореме Хана — Банаха нашелся бы ненулевой элемент В ? Я, такой что шА с (В) = 0 при всех А, С ? D (б). Свойства представлений алгебры в сочетании с плотностью D (б) позволят тогда заключить, что лю (В) = 0, в противоречие с точностью (фщ, ящ). Тем самым D (б*) обладает требуемой а (Щ*, Я)-плотностью, и 6 замыкаемо по норме.
Отметим, что в доказательстве предложения 3.2.26 использованы соображения, основанные на эксплуатации двойственности 91 и 91*, и область их применения не ограничивается топологией нормы. Если 91 — алгебра фон Неймана, то можно применить в точности те же самые рассуждения и получить для слабой* топологии следующий результат.
Следствие 3.2.27. Пусть б — дифференцирование алгебры фон Неймана ЭК с а (ЭК, ЭК*)-плотной областью определения. Для
о (ЭК, ЭК*)-сг (ЭК, Ш*)-замыкаемости б достаточно, чтобы нашлось такое состояние со ? ЭК*, что
(1) | со (б (Л)) | < L\\ А || при всех А ? D (8) и некотором L ^ О,
(2) представление (?>а, яш) алгебры ЭК, ассоциированное с со, точно.
Если свойство непрерывности по норме | со(б (Л))1 « LII Л II, гарантирующее замыкаемость дифференцирования, заменить более сильным условием непрерывности, то можно вывести более подробное описание действия б на представление (§ш, яш).
Предложение 3.2.28. Пусть б—симметрическое дифференцирование, определенное на *-подалгебре 2) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф. Пусть Q ? § — единичный вектор, циклический для 2), и со—соответствующее ему состояние, т. е.
со (Л) = (Q, AQ), А ? 2).
Следующие условия эквивалентны:
(1) при всех А ? 2) и некотором L > О
| со (б (Л)) | < L (со (А*А) + со (ЛЛ*))1/2,
(2) существует симметрический оператор Н в для которого
D (Я) = 2)Q, б (Л) ip = i [Н, А ] if
при всех А ? 2) и ^ ? D (Я).
244
3. Группы, полугруппы и генераторы
Если © содержит единицу И и выполнены предыдущие условия, то^можно выбрать Н так, чтобы
]ясгр<-?.
Доказательство. (2) =>¦ (1). В силу неравенства Коши—Шварца, при А ? Ф имеем
I “ (б (^)) I = ! (НО, АО) - (.4*0, НО) |< [| НО |[ (|| АО || + || Л*й ||),
откуда
| со (б (А)) |2 < || НО f (/со (А*А) + Vсо (АА*))*
< 2 || НО р (со (А*А) + со (АЛ*)).
(1) => (2). Рассмотрим гильбертово пространство §+ = §©§, где ф обозначает пространство, сопряженное к ф (см. подстрочное примечание на стр. 78).
Пусть §+ обозначает подпространство в ф+, порожденное векторами вида {ЛЙ, А*й}, где А ? ®. Зададим на §+ линейный функционал г| формулой г] ({ЛЙ, Л*Й}) = (со (б (Л)).
Для него, по предположению,
| т] ({Лй, А*Й}) |< L || {Лй, А*й} ||.
Тем самым г| определен корректно и ||r| || ^ L. Согласно теореме Рисса, найдется
такой вектор {ф, i|)} в замыкании §+, что
to (б (Л)) = г] ({ЛЙ, Л*0}) = ({ф, \р}, {Лй, Л*0}) =
= (ф, ЛЙ) + (А*й, ->]¦).
Далее, воспользовавшись симметричностью, находим, что
iw (б (Л)) = Г] ({ЛЙ, Л*Й}) = ({Ф, г|)}, {Лй, Л*Й}) = (ф, ЛЙ) + (Л*Й, ф). Взяв полусумму этих двух выражений, получим
t_1co (б (Л)) = (Йб, ЛЙ) - (А*Й, Й6), где Йб = 1=^ .
Следующим нашим шагом будет определение оператора Я на Л (Н) = Фй:
НАО = i~4 (Л) й + Лйб, Л
Непосредственно проверяется, что
(ЯЛЙ, ВО) — (ЛЙ, НВО) = Г1® (6 (Л*) В) — Г1 со (Л*6 (В)) +
+ (йб, А*ВО) — (О, А*В06) = —Г1 со (б (А*В)) + Г1® (б (А*В)) = 0.
Поскольку множество Фй плотно в ф, мы убеждаемся в корректности определения Я (Лй = 0 влечет ЯЛЙ = 0), а также в симметричности Я. Для произвольных Л, В ? Ф имеем
б (Л) ВО = д (АВ) й — Лб (5) Й
= iHABO — Л5Йб — AiHBO + ЛВЙб = i [Я, А] ВО.
Наконец, оценка для || ЯЙ [| следует из условия б (Ц) = 0 и выкладки
¦ ,, УФ — -фII2 + IIФ + -фII2 _ ||Ф112 + И112 IITill2 ^ L2
3.2. Теория для случая алгебр
245
Предложение 3.2.28 особенно полезно при рассмотрении инвариантных состояний. Если t ? R н-> at — однопараметрическая группа *-автоморфизмов С*-алгебры 91, а со — состояние, то инвариантность со означает, что при всех t ? R и А ? 91
® К (Л)) = м (Л).
Если группа а сильно непрерывна и имеет генератор б, то это условие инвариантности равносильно условию в инфинитези-мальной форме
со (б (Л)) = О
при всех Л ? D (б). Таким образом, можно применить предложение к б, действующему на циклическое представление (§ffl, Ящ, ?2Ш), ассоциированное с со. Отметим, чт(о в этом случае группа автоморфизмов а выполнима посредством однопараметрической унитарной группы U в
