Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь введем основные понятия, необходимые при построении элементов спектральной теории для U.
Определение 3.2.37. Пусть 1н-> Ut — такое а (X, /^-непрерывное представление G, что || U11| с М при всех t (j G. Пусть Y — подмножество в X. Введем
Зг = I/ G Ll (G); U (/) Л = 0 для всех А ? Y).
Ясно, что Ъу — замкнутый *-идеал в L1 (G). Далее, определим спектр множества Y как следующее замкнутое подмножество в G:
au(Y) = {у 6 G\ f Ц) = 0 для всех f ? Зу).
Спектром, представления U называется
a(U) = av (X).
Спектральное подпространство Xй (E), соответствующее подмножеству Е s G, определяется как
XU (Е) = \А G X; аи (A) s ?);
здесь черта сверху обозначает замыкание в а (X, /^-топологии. Наконец, ассоциированное подпространство Xq (Е) введем как а (X, /^-замкнутую линейную оболочку элементов вида U (/) А, где supp f s Е и А ? X.
Проиллюстрируем эти определения двумя примерами. Сначала рассмотрим непрерывное представление однопараметрической группы унитарными операторами Ut в гильбертовом пространстве Унитарная группа U обладает спектральным разложением
Ut = j dP (р) ег**р,
и для любого замкнутого (или открытого) множества R = R
%и (Е) = Р (Е) ф.
258
3. Группы, полугруппы и генераторы
Таким образом,
a (U) = носитель Р = а (#),
где Н — самосопряженный генератор U. Кроме того, если яр ? ф,
то а (ф) будет наименьшим замкнутым множеством таким
что Р (Е) яр = яр. Мы воспользовались здесь отождествлением R
с R, при котором р ? R соответствует характеру 11—> (р, t) = eipi. Сформулированные результаты выводятся без труда, все они вытекают из леммы 3.2.39 и предложения 3.2.40.
Хотя приведенный пример вполне достаточно иллюстрирует, какова природа спектра, он не полностью раскрывает важный алгебраический аспект, присущий спектральным подпространствам. С этой целью возьмем в качестве унитарной группы Ut группу сдвигов в L2 (R):
(U$) (х) = яр (х — t), ip ? L2 (R),
и рассмотрим алгебру L°° (R) действующих в L2 (R) операторов умножения на функцию. Действие группы сдвигов определено и на L°° (R), и можно ввести соответствующие спектральные подпространства. Если Е — замкнутое подмножество в R, то Xq (Е) —это замкнутое подпространство в L°° (R), образованное функциями / ? L°° (R) с supp f <= Е. Для / ? Xq (Е) и яр ? € &U (F) рассмотрим теперь произведение /яр. Оно равно
(/’!') (х) == / (х) '|: (х) = J dpf\\> (р) ёрх,
где ^
(р) = J dqf (Р — д) $ (д).
В частности, supp /ip ? Е + F. Тем самым спектр яр при умножении на / увеличивается, и прирост соответствует прибавлению чисел из Е. Операторы', обладающие таким свойством увеличивать спектральные значения, встречаются в различных областях математической физики. В теории поля их называют операторами рождения и уничтожения, в ряде разделов теории групп и функционального анализа — операторами сдвига, а иногда — поднимающими и опускающими операторами. Такого типа свойство выступает как важнейший довод в пользу рассмотрения спектральных подпространств; с дальнейшим его развитием мы встретимся в предложении 3.2.43.
Предыдущий пример не только поясняет природу спектральных подпространств, но>также вводит одно из основных технических средств их исследования — свертку.
Теперь сформулируем некоторые элементарные свойства спектров элементов.
3.2. Теория для случая алгебр
259
Лемма 3.2.38. Для cr (X, Р)-непрерывного равномерно ограниченного представления U группы G при любых А, В ? X, / ? ? L1 (G) выполняются свойства:
(1) Сту (U(A) = су (Л), t ? G;
(2) (Ту (аЛ + В) != (Ту (Л) U cry (В);
(3) (Ту (?/ (/) Л) ^ supp f П ?и (А);
(4) если flt /2 ? L1 (G) и fi = f2 в некоторой окрестности а и (Л), то
U (fi) А = U (/2) Л.
Доказательство. (1) U (/) ?/*Л = U (ft) А, где ft (s) = f (s — t). Поскольку ft (?) = (7. f) f (?). T0 ft (?) = 0 тогда и только тогда, когда f (7) = 0.
(2) Ясно, что сгу (аА) = сгу (А), так что можно считать а = 1. Если 7 ф Ф °и (А) и Сту (В), то можно найти / ? с f (7) = 1 и g ? с g (7) = 1. Далее, f * g ? Зл+в> так как
U(f * g) (А + В) = U (f)U (g) (А + В) =
= {/ (fif) и (/) Л + и (/) {/ (g) В = 0.
Однако / * g (7) = f (7) g (7) = 1, следовательно, 7 ф (А + В).
(3) Если U (g) А = 0, то t/ (g) U (f) А = U (/) U (g) А = 0, значит, сг^ ((/ (/) Л) е 0^ (Л). С другой стороны, если g обращается в нуль на supp f, то f*g = 0, так что U (g) U (/) Л = 0. Таким образом, ац (U (/) Л) s supp f.
(4) Введем g= f\ — /2. Нам надо показать, что U (g) А = 0. Но g обращается в нуль в окрестности спектра ои (Л), поэтому, согласно (3),
Оу (U (8) А) = supp g П Сту (А) = 0.
Отсюда ?/ (g) А = 0.
