Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим связь между спектральными подпространствами унитарно выполнимой группы автоморфизмов и спектральными подпространствами соответствующей унитарной группы. В частности, приводимое ниже предложение позволяет трактовать элементы некоторых спектральных подпространств как операторы «рождения» или операторы «сдвига» на спектре унитарной группы.
Предложение 3.2.43. Пусть U — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов в гильбертовом
пространстве § со спектральным разложением Ut = ^e~ity dP (7)
Пусть $t (А) = UtAUt —та а-слабо непрерывная однопараме трическая группа автоморфизмов алгебры SE (§), которая выполняется группой U. Тогда, каковы бы ни были А ^ & (§) и 7 ? R> эквивалентны следующие условия:
(1) СГр (А) е [7, оо);
(2) АР (U, оо)) §eP(R + 7, 00)) § при всех К ? R.
Доказательство. Сперва заметим, что для всякого замкнутого ? s R = R, как нетрудно получить, Р (Е) ф = (Е).
(1) (2). По лемме 3.2.39 достаточно показать, что
Р/ (A) U (g) i|) ? Р ([Я + 7 — 28, оо)) ?>,
где if g ф, f, g ? L1 (R) и supp f s (f — e, oo), supp g = (X — e, оо), т. e.
нам надо проверить, что для таких / и g
U (h) р/ (A) U (g) = 0, если supp ft s (—оо, X -|- 7 — 2е). Но
U (Л) |3/ (A) U (g) = j'jj dtdsdrh (t) / (s)g(r) Ut+sAU_s+r.
После замены переменных и = t, v = s t, w ~ г — s, применив теорему Фубини, приходим к равенству
U (h) f5/ (A) U (g) = j j kw (v) UvAUwdvdw;
здесь kw (v) — h * (f-gw), gw (s) = g (s-f w). Имеем k^= ft (f*gw). Поскольку
supp gw = supp js(l-E, oo),
TO
supp (f * gw) e supp/ + supp g <= (7 + X — 2e, oo).
Последнее множество имеет пустое пересечение с supp ft, так что kw = 0, т. е.
U (Л) р/ (Л) t/ (g) = 0.
(2) (1). Пусть (2) выполнено. Возьмем Х0 е = (у — Я0)/5 и выберем f d L1 (R) так, чтобы f (Я0) = 1, supp f С (Я — в, X -|- в). Нам надо показать,
3.2. Теория для случая алгебр
265
что (А) = 0. Согласно лемме 3.2.39, для этого достаточно убедиться, что Р/ (A) U (g) г|) = 0, где g ? L1 (R) — любая функция, такая что носитель g принадлежит интервалу вида (Xt — е, Хх е). Но так как auU (g) т|>s [Xt — e, A,! + e] e ([Xi — e, оо), то из условия (2) следует, что ацр/ (Л) U (g) г|) s = [Xj — е + 7, оо). Поэтому достаточно проверить, что U (К) (5/ (A) U (g) = 0 для любой функции h с supp ft s [Хх— 2e + 7, °o)- Применим ту же замену переменных, что и в доказательстве импликации (1) (2), и сохраним те же
обозначения. Тогда
supp (f * gw) ;= (7.0 — е, Х0 + е) + (Xt — е, Xt -f е)
= (^о + — 2е, Х0 Xj 2е)
не пересекается с [7 + ^1 — 2е, оо), следовательно, kw = 0 и Р/ (А) = 0.
Следующий результат служит для сравнения двух групп автоморфизмов. А именно можно заключить, что группы совпадают, если спектральные подпространства' одной из них содержатся в соответствующих спектральных подпространствах другой. Хотя мы сформулируем и докажем этот результат для алгебр фон Неймана, аналогичное утверждение верно и в случае сильно непрерывных однопараметрических групп *-автоморфизмов С*-алгебр, причем доказательство по существу то же самое.
Предложение 3.2.44. Пусть а и |3—две о-слабо непрерывные однопараметрические группы *-автоморфизмов алгебры фон Неймана 9JJ. Если предположить, что [Л, оо) ^ [X, оо) при
всех К ? R, то at = f>t при всех t ? R.
Доказательство. Возьмем А ? Ш, г] ? 9Ji*+ и рассмотрим функцию f(t, s) = г| (|3,as (A)), t, s ? R.
Мы покажем, что на R существует такая непрерывная функция g, что / (t, s) = = g (t -f- s). Из этого выражения для f вытекает, что f (—t, t) = f (0, 0), т. e. P_/0^ (A) = А, или at (A) = P^ (А) при всех t.
Сперва введем обозначение / (Л), полагая при всех h ? L1 (R2)
f (h) = j j dt dsh (t, s) f (t, s).
Далее, для hlt h2 ? L1 (R) с supp ftt s (X, оо) и supp ft2 s (—оо, X) имеем
/ (hiK) = 'П (P/iia^2 (A)) = 0,
потому что a;1t> (A) ? Ша [X, oo) s [X, оо). Точно так же
j j dt dsh2 (t) fix (s) f (t, s) = f j dt dsh2 (t) hx (s) / (t, s)
= j j dt dsh2 (t) hx (s) t) (P/as (A*)) = 0.
Ho supp fix s= (—оо, —X), supp ft2 — (—X, оо), и, следовательно,
/ = 0,
каковы бы ни были пары Л^, h2i с supp (~) supp й2г = 0- Принимая во внимание оценку | / (К) | < ||/ UЛ[ii легко получить, что / (h) = 0 при всех h ? L1 (R2),
266
3. Группы, полугруппы и генераторы
у которых фурье-образ h (р, q) бесконечно дифференцируем и имеет компактный носитель, лежащий в области, где р =j= q.
Произведя замену переменных s, / на s + t, s — /, завершаем доказательство с помощью следующей леммы.
