Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 3.2.33. Пусть б — замкнутое по норме дифференцирование С*-алгебры 91 *с единицей И и И ? D (б). Для любого элемента А = Л* ? D (б) и любой -финитной (т. е. имеющей компактный носитель) дважды непрерывно дифференцируемой функции / одной вещественной переменной / (Л) ? D (б) и
[|б(/(Л))||<||б(Л)||(-^|^
dx2 dx
Доказательство. По теореме 3.2.32, / (А) ? D (б) и
II б (/ И)) к II б И) II (2яр1/2' j dp I р 11 Up) I
< || 6 (A) || (2it)-1/2 J dp | p -f i I"11 p2 + ip 11 f (p) ^ II6 (A) || (~~ldp\ (p* + ip) f (p) I*)172;
у/2
3.2. Теория для случая алгебр
251
на последнем шаге использовано неравенство Коши—Шварца. Применив неравенство Парсеваля для квадратично-интегрируемых функций, получим
Хотя функциями, указанными в теореме 3.2.32, почти исчерпываются все непрерывно дифференцируемые на а (А) функции, но полного совпадения нет. Удивительнее другое: оказывается, что результат теоремы нельзя распространить на все функции, один раз непрерывно дифференцируемые. Можно построить замкнутое по норме и плотно по норме определенное дифференцирование б для С^-алгебры 21, у которого в D (б) есть такой элемент А = А*, что для некоторой однократно непрерывно дифференцируемой функции f, заданной на интервале, содержащем а (А), мы имеем / (А) Ф- D (б). Сконструировать этот пример весьма сложно. Для нас важно, что он вскрывает серьезные отличия в структуре дифференцирований произвольных С*-алгебр и абелевых С*-алгебр.
В заключение этого пункта применим полученные результаты для изучения дифференцирований и групп автоморфизмов алгебры 3? (?>) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф. Имеются две подходящие для этой цели техники теории возмущений, обе вполне общей природы.
Во-первых, рассмотрим С0-группу или С0-группу at, состоящую из *-автоморфизмов С*-алгебры 51, с генератором б. Если бр — ограниченное дифференцирование 91, то б + бР будет генератором некоторой С0- или Cj-группы af сохраняющих инволюцию отображений банахова пространства % в себя (по теореме 3.1.33). Но все af будут *-автоморфизмами. Действительно, для А, В е D (б) с помощью свойств дифференцирований получаем
Значит, af (АВ) = af (A) af (В).
Во-вторых, если б — дифференцирование С*-алгебры и Е ? ? D (б) — проектор, то можно ввести ограниченное дифференцирование бЕ:
-?raLtW(A)af(Bj) = 0.
ЬЕ (А) = i [НЕ, А], НЕ = ib (Е) Е — iE8 (Е)
при всех А ? 51. Рассмотрим теперь сумму 6я = б + б? на D (6). Для нее
6я (Е) = б (Е) + 2Е8 (Е) Е — б (Е) Е — ЕЬ (Е)
= б (Е — Е2) + 2ЕЬ (Е) Е = 0;
252
3. Группы, полугруппы и генераторы
мы учли, что Е2 — Е = 0, а потому Е8 (Е2 — Е) Е = ЕЬ (Е) Е = = 0. Тем самым, если 6 — генератор группы *-автоморфизмов at, то 8е будет генератором возмущенной группы af, для которой af (Е) = Е.
Теперь обратимся к алгебре Я? (?>) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве §.
Пример 3.2.34. Пусть б — замкнутое по норме симметрическое дифференцирование алгебры 2 (§)¦ Предположим, что его область определения D (б) плотна в слабой (сильной) операторной топологии на 2 (ф) и D (б) Г) •2’®’ (,Ф)Ф Ф {0}. Сначала мы покажем, что D (б) содержит проектор ранга 1. Для этого выберем какой-нибудь ненулевой оператор В ? D (б)П-2’®’ (ф) и по нему введем С — В*В. Если у С есть собственное значение с и если Ес — соответствующий проектор конечного ранга, то
Ес = (2nd)-‘ | d%C (ХП — С)-1,
где интеграл берется по замкнутой кривой, охватывающей изолированную точку с спектра оператора С. Согласно предложению 3.2.29 и последующему обсуждению, Ес ? D (б). Пусть, далее, Р — такой проектор ранга 1, что ЕСРЕС = Р;
выберем Ап ? D (б) так, чтобы Ап = А* и Ап—у Р сильно. Тогда ||ЕсАпЕс —
— ЕСРЕС || —v 0, поэтому и || ЕсАпЕс — Р||—уО. Следовательно, при достаточно больших п оператор ЕсАпЕс ? D (б) имеет простое собственное значение в окрестности 1. Если ему соответствует спектральный проектор Е, то Е ? D (б); это вновь проверяется с помощью контурного интеграла. Пусть Q — единичный вектор из области значений Е. Рассмотрим векторное состояние со = coQ. Для него
| со (б (.4)) | = | со (?б (Л) Е) | = | со (б (ЕАЕ)) — со (б (Е) АЕ) —
- ш (?Аб (Е)) | < j ш (б (со (А) Е)) | + | со (б (Е) А) | + | со (Аб (?)) |
< 3 || б (?)||{<о (А*А) -f a> (ЛА*)}1/2.
Поэтому из предложения 3.2.28 следует, что на D (Н) = D (б) Q определен такой симметрический оператор Н, что
б (А) = I [Н, А]
при всех А ? D (б). В частности, всякое слабо* (по норме) плотно определенное и слабо* (по норме) замкнутое дифференцирование алгебры S’ (§) с D (б) П П 24$ (ф) --Ф {0} имеет такой вид. В следующем примере мы увидим, что этот класс дифференцирований включает в себя все генераторы слабо* непрерывных однопараметрических групп автоморфизмов.
Несколько видоизменив проведенные рассуждения, можно показать, что если б — дифференцирование 245 (ф) и D (б) содержит оператор конечного ранга, то б допускает замыкание по норме и его можно расширить до ст-слабо замкнутого дифференцирования 2 (¦§). Для доказательства сначала, используя то, что D (б) — плотная *-подалгебра в 29 (ф), находим в D (б) одномерный проектор Е: Затем применяем полученную выше оценку для со (б (Л)) в сочетании со следствием 3.2.27. Аналогичным образом доказывается, что всякое дифференцирование алгебры 2 (?>), содержащее проектор конечного ранга в своей области определения, обладает ст-слабым замыканием.
