Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
6(Kt + Л) = б (Л), Л ? D(6),-a, ? С,
248
3. Группы, полугруппы и генераторы
Тем самым как при наличии единицы (И ? 51), так и при ее отсутствии (И Ф 1) мы можем свести дело к ситуации с 11 ? D (б) s ? 1.
Теперь рассмотрим поподробнее свойства областей определения. Постоянный объект нашего изучения — замкнутые по норме дифференцирования С*-алгебр, но, разумеется, сюда подпадают автоматически и слабо* замкнутые дифференцирования алгебр фон Неймана. Как мы упомянули, возможны два разных подхода. Во-первых, по А = А* ? D (б) и функции г ? С > -W (z) € С, аналитической в некотором открытом односвязном множестве ?/> содержащем 0 (А), можно определить f (Л) с помощью интегрального представления Коши
f {А) = (2ж')-1 } dXf (*,) (ХП — А)~\
с
где С — простая спрямляемая кривая, которая лежит в 2^ и внутри которой содержится 0 (Л). Интеграл понимается как предел в смысле сходимости по норме римановых сумм
%N(f) = (2шГ ? - *,-i) f (h) (М - Л)-1.
i—1
Согласно предложению 3.2.29, A (/) ? D (б) и
На Е*(Л)
N
=-- (2т)~~1 ? (К, - Я.4_х) f (Я,*) X, (М - Л)"1 б (А) (М - А)~\
i=i
Но указанные здесь суммы сходятся по норме, так что Af (Л) ?
е d(б) и
б (Af (Л)) = (2m)-1 j -dXf (к) к (М — Л)'1 б (Л) (ХЦ — Л)-1.
С
Аналогично в случае И ? D (б) заключаем, что f (Л) ? D (8) и
б (f (Л)) = (2jx0 1 1 dkf (*,) (U — А)-1 б (Л) (U — АУ1. с
В частности, такого рода рассуждения показывают, что для положительного и обратимого А ? D (б) также Л1/2 ? D (б).
Второй подход, основанный на методе преобразования Фурье, более эффективен. Центральное место в нем занимает следующая
Лемма 3.2.31. Пусть б—замкнутое по норме дифференцирование С*-алгебры 91 с единицей, причем предполагается, что
3.2. Теория для случая алгебр
249
И ? D (6). Если А = Л* ? D (6) и Vг = ехр {гЛ| при г ? С, то Uz ? D (6) и
6(Ut) = z \ dtUu8 (A)
Доказательство. Сперва заметим, что экспоненциальную функцию можно определить с помощью разложения в степенной ряд, откуда вытекает, что подынтегральное выражение Utzb(A) будет непрерывным по норме. Сле-
довательно, можно понимать рассматриваемый здесь интеграл как риманов. Далее, полезным является и другое возможное определение Uz:
lim \\U7 - И -
zA
: О,
в справедливости которого можно убедиться, манипулируя сходящимися по норме степенными рядами.
Выберем теперь ге> |г|[|Л|| и заметим, что (И —zA/пУ1 ? D (б), в силу предложения 3.2.29. Кроме того,
т=О
т—О
Второе равенство получено вторичным применением предложения 3.2.29. С помощью обычных оценок для римановых интегралов убеждаемся, что правая часть последнего выражения сходится по норме к интегралу
1
г J dt Utzб (А) г/{1_0 г.
О
Остается сослаться на замкнутость 6 по норме.
Отметим, что, отказавшись от условия леммы И ? D (б), можно все же получить такой более слабый результат: AU2 ? ? D (б). Это замечание относится и к следующей теореме, в которой развит фурье-анализ для D (б).
Теорема 3.2.32. Пусть б — замкнутое по норме дифференцирование С*-алгебры 91 с единицей И, и пусть 1 ? D (б). Далее, пусть / — функция одной вещественной переменной, имеющая фурье-образ f, для которого
| Т| = (2лГ1/2 \dp ] f (р) 11 р | < оо.
250
3. Группы, полугруппы и генераторы
При таких предположениях, если А = А* ? D (б), то и f (Л) ? ? D (б), причем
f (А) = (2я)-1/2 J dpf(p) eipA, i
s (/ (Л)) = i (2п)~т J dp f(p)p\ dteiipA б (Л) e1' (1^> рЛ .
0
Следовательно, верна оценка
1|б(/(Л)) ||<|Г|||б(Л)||.
Доказательство. Сначала будем считать, что / непрерывна. Аппроксимируем f (А) суммами Римана
I:*(/) = (2я)-1/2 ? (Л - Pi-i) f (Pi) eiPiA > i=i
о которых нам известно, что 2дг (/) ? ?> (б), а также
JV 1
б (Г JV (/)) = (2пГ‘/2 2 (Pi - Pi-l) f {Pi) ipi J dteiiPiA 6 (A) e‘ <1_<> М t = l 0
(по лемме 3.2.31). Сходимость таких сумм в сочетании с замкнутостью б по норме приводит к желаемому свойству D (б) и выражению для действия б. Оценка || 6 (/ (А)) Ц ^ | / 11| б (А) || очевидна. В общем случае используем эту оценку и соображения непрерывности.
Этот результат почти полностью воспроизводит результат для абелевых С*-алгебр, полученный в начале пункта. Дело в том, что класс функций на спектре а (Л) элемента Л, обладающих расширениями / на всё R, такими что | f | < оо, почти не отличается от множества непрерывно дифференцируемых функций. На самом деле этот класс содержит функции, дважды непрерывно дифференцируемые.
