Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В ближайших трех пунктах мы изучим характеристические свойства тех дифференцирований, которые являются генераторами групп *-автоморфизмов С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Если сопоставить эту программу с соответствующей программой, реализованной в разделе 3.1 для групп операторов в банаховых пространствах, то тогда мы начинали с простейшего случая равномерно непрерывных групп и установили, что такое свойство непрерывности эквивалентно ограниченности генератора. Поэтому естественно и сейчас начать с рассмотрения ограниченных дифференцирований. В следствии 3.2.23 было показано, что всюду определенное дифференцирование С*-алгебры 91 ограничено, а одним из результатов этого пункта будет утверждение об общем виде ограниченного дифференцирования б алгебры фон Неймана 3JI, а именно: б (Л) = i [Н, А ] при некотором Н ? 2К. В доказательстве этого факта мы используем так называемую спектральную теорию однопараметрических групп автоморфизмов алгебры 21 или Ш. Применение здесь спектральной теории имеет тот недостаток, что доказательство теоремы о дифференцированиях довольно сильно затягивается, но это с лихвой окупается тем, что она позволяет получить более общие результаты для групп с полу-ограниченными (в соответствующем смысле) генераторами.
Автоморфизм а алгебры 21 или Ш называется внутренним, если существует унитарный элемент U ? 91 или Ш., такой что а (Л) = UAU*. Если t ь—> at — однопараметрическая группа автоморфизмов, то множество тех ? ? R, для которых автоморфизмы at внутренние, очевидно, образует подгруппу в R. Спектральная теория играет важную роль при изучении таких подгрупп, и она обычно применяется при исследовании внутренних автоморфизмов. Теорема о дифференцированиях, упомянутая выше, иллюстрирует один из аспектов такого исследования, другой его аспект проявляется при изучении групп автоморфизмов вида
a t[A) = UtAUu
для которых унитарные группы Ut имеют положительные генераторы. (По поводу дальнейших результатов см. замечания и комментарии в конце главы.) Имея в виду последующие приложения к калибровочным группам, мы изложим спектральную теорию для общего случая локально-компактных абелевых групп.
На протяжении этого пункта будут применяться следующие обозначения:
G— локально-компактная абелева группа с мерой Хаара dt;
G — двойственная группа для группы G, т. е. группа ее характеров с топологией, введенной в пункте 2.7.1;
256
д. Группы, полугруппы и генераторы
L1 (G) — групповая алгебра группы G, т. е. множество L1-функций на G с алгебраическими операциями
/ * g (0 = j dsf (t — s)g (s), /* (t) = / (—t),
произведение / * g называется свёрткой fug.
Хорошо известно, что существует взаимно-однозначное соответствие между характерами алгебры L1 (G) и характерами t н-нн» (y, t) группы G, которое задается преобразованием Фурье
• /f L'(G)^ Г (у) = j dtf {t) СТО.
Таким образом, в данном случае преобразование Гельфанда совпадает с преобразованием Фурье; при этом L1 (G) реализуется
как плотная *-подалгебра С*-алгебры С0 (G).
Между замкнутыми идеалами 3 в С0 (G) и замкнутыми подмножествами К ^ G имеется биективное соответствие, при котором идеалу 3 отвечает
К = {у, f (у) = 0 для всех f ? 3}.
Тем самым будет определено отображение множества всех замкнутых *-идеалов Зс!1 (G) во множество всех замкнутых подмножеств К Е G, если положить
К = \у, f (у) = 0 для всех f ? Щ.
Это соответствие, вообще говоря, не взаимно-однозначно, но тауберова теорема показывает, что существует лишь один идеал, соответствующий К = 0 или одноточечным множествам К (а также некоторым другим специальным множествам К). Нам часто придется привлекать такой результат: при заданных компактном множестве К ? G и открытом множестве W э К найдется функция / ? L1 (G), для которой f (у) = 1 при 7 ? /С и f (7) = О
при 7 ? G \ W7.
Теорема СНАГ (Стоуна—Наймарка—Амброза—Годмана) утверждает, что между непрерывными унитарными представлениями
U\ группы G и проекторнозначными мерами dP на G (значениями которых служат проекторы в ?) существует взаимнооднозначное соответствие, задаваемое явно формулой
Ut = j (ТГО dP (у), в
В случае G = R это просто теорема Стоуна. Далее в этом разделе мы встретимся с частичным обобщением теоремы СНАГ на а (X, /^-непрерывные представления U группы G в банаховом пространстве X. Это обобщение получено при ограничениях
3.2. Теория для случая алгебр
257
а)—в) на пару (X, F), сформулированных в начале пункта 3.1.2, а также при добавочном условии [| Ut || < М при всех t ? G (где М подходящая константа). Согласно предложению 3.1.4, такое представление U группы G определяет представление U алгебры L1 (G) ограниченными по норме а (X, F)-a (X, /^-замкнутыми операторами в X, при этом
U ф = jdtf(t) Ut, f 6 Ll(G),
т. e. U (f * g) — U (/) U (g). Иногда мы будем применять и обозначение Uf = U (/).
