Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
9К“ [s, оо) Ша [t, ос) е= Ша [t + s, оо).
Значит, при всех t ? R
[s, ос) Р [t, оо) е Р [s -j- /, оо) §>.
Из предложения 3.2.43 тогда вытекает, что
9Jt“ [s, оо) <= адР [s, оо) при всех s ? R. Но тогда at = при всех / ? R, согласно предложению 3.2.44.
В качестве немедленного следствия теоремы 3.2.46 мы получим так называемую теорему о дифференцированиях, которую мы приводим и в варианте для алгебр фон Неймана, и в С*-варианте. В С*-случае результат может быть усилен при надлежащих добавочных условиях (см. замечания и комментарии к главе).
Следствие 3.2.47. Пусть б — всюду определенное, а следовательно ограниченное, симметрическое дифференцирование алгебры фон 'Неймана Ш. Тогда существует оператор Н = Я* ? Ш. с I Я || -С I б ||/2, такой что '
б (А) = i [Я, А ]
при всех А ? 2Я.
Доказательство. Дифференцирование б ограничено, в силу следствия 3.2.23, поэтому можно ввести непрерывную по норме группу at *-автоморфизмов 2JI, действующую по формуле
at(A)^etb(A) = (А).
0
Из предложения 3.2.40 следует, что а (А) = i а (б), и применение условия (3) того же предложения показывает, что [t, оо) = {0} при t^> ||б|. По тео-
реме Борхерса—Арвесона должна найтись такая сильно непрерывная однопара-
3.2. Теория для случая алгебр
269
метрическая группа унитарных операторов Ut с положительным самосопряженным генератором Н0 ? Ш, что at (Л) = U/AU*t при всех Л^ЭЛ. Продифференцировав это равенство по t, получим при ^=0
б (Л)= i [Н0, А].
Явная конструкция Ut, проведенная в теореме Борхерса—Арвесона, показывает, что а (//„) с= [о, ||б||]. Введем Н~ Ни — ||б|| Ц/2; для него || Я|| ^ |] б||/2 и б (Л) = i [Н, А ].
Одним из вариантов этого результата в С*-случае является
Следствие 3.2.48. Пусть б — всюду определенное, а потому ограниченное, симметрическое дифференцирование С*-алгебры 91. Для любого представления л алгебры 91 найдется такой оператор Н = Н* 6 л (21)", что || ЯI < ||б ||/2 и
л (б (Л)) = i [Н, л (Л)]
при всех А ? 91.
Доказательство. Сперва покажем, что если Q = ker я, то б (Q) Достаточно показать, что б (Л) ?Э для Л ? Q+. Но такие Л представимы в виде Л = В2 с В ? Q. Значит, б (Л) = б (В) В + Вб (В) ? так как Q — идеал. Следовательно, б (g) е g и определение отображения б на я (St) формулой
6 (я (Л)) = я (б(Л)) вполне корректно. Это дифференцирование б алгебры я^(Щ) по предложению ,3.2.24 _имеет единственное с-слабо замкнутое расширение б на я (St)", причем 1 6 I = || б || < || б ||. Остается применить следствие 3.2.47.
Хотя описание инфинитезимальных генераторов было приведено только для групп с компактным спектром, можно аналогичные заключения высказать и для групп с полуограниченным спектром, применив теорему 3.2.46. Генераторы таких групп имеют вид
б (Л) = i [Н, Л],
где самосопряженный оператор Н можно выбрать положительным и также присоединенным к алгебре фон Неймана ЭЯ. В заключение заметим, что такой выбор Н, который гарантирует принадлежность группы Ut = eitH, выполняющей автоморфизмы, алгебре ЭЯ, не всегда будет самым естественным. Если Ш — алгебра фон Неймана в стандартной форме, то согласно следствию 2.5.32 существует вторая унитарная группа Vt со свойством
at (А) = VtAVt = UtAU*t.
Эта группа Vt вводится с помощью естественного конуса 9 и однозначно фиксируется требованием ? 9. Однако «вну-
тренняя группа» Ut и «группа естественного конуса» V\ не совпадают. Ситуация здесь следующая: группа t > UtJUtJ унитарна и UtJUtJ 5Э= 9, a UtJUtJAJU_tJU_t = at (Л), так что Vt = = UtJUtJ; но это означает, что генератор К группы Vt имеет вид
К = Н — JHJ.
270
3. Группы, полугруппы и генераторы
3.2.4. Дифференцирования и группы автоморфизмов
Основной источник интереса к симметрическим дифференцированиям и главная причина их изучения заключаются в том, что они служат генераторами однопараметрических групп автоморфизмов. В этом пункте мы охарактеризуем те дифференцирования, которые являются генераторами групп автоморфизмов. Простейший из критериев такого рода, относящийся к генераторам непрерывных по норме групп, можно извлечь из предложения 3.1.1 и следствия 3.2.23.
Следствие 3.2.49. Пусть б—линейный оператор на С*-алгебре 'Я. Эквивалентны следующие условия:
(1) б — симметрическое дифференцирование алгебры 'Л, определенное на всей этой алгебре;
(2) б — генератор некоторой непрерывной по норме однопараметрической группы *-автоморфизмов t н-> xt алгебры 31.
При их выполнении для каждого представления л алгебры 31 найдется оператор Н = Н* ? л (Я)", такой что
л (xt (Л)) = е1Шл (А) е~цн при всех R.
Последнее из утверждений вытекает из следствия 3.2.48.
Итак, в случае непрерывных по норме групп наличная алгебраическая структура гарантирует унитарную осуществимость автоморфизмов во всех представлениях я. Более того, соответствующую унитарную группу Ut можно выбрать внутри алгебры п (21)". Однако это последнее свойство весьма специфично, и не приходится ожидать, чтобы оно было справедливо в общем случае. Например, если алгебра 31 абелева, то в силу сформулированного здесь следствия не существует нетривиальных групп автоморфизмов ЗХ, непрерывных по норме, равно как и нетривиальных ограниченных дифференцирований. С другой стороны, нетрудно построить примеры сильно непрерывных групп с неограниченными дифференцированиями в качестве генераторов; так, сдвиги на С0 (R) порождаются операцией дифференцирования функций. Для таких более общих случаев дифференцирований мы получим критерии, характеризующие генераторы, комбинируя теорию пункта 3.1.2 для банаховых пространств с теорией положительных отображений пункта 3.2.1. Сперва сформулируем одиннадцать таких критериев для С*-алгебр с единицей.
