Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
dng
dtn
(0)
S О a*bq' А' (iH)n~icQ)
k=Q
II
~ S (l) SQ- A'(iH)k ACQ)
k=o ^ '
П
=S (I) 8k {b*a) ьпк (c)
n
- ^ (A'*Q, 8n~k (B*) 8k (AC) Q)
k=o ' '
= (A'"Q, bn(BtAC)Q)-(A',Q, Ъп (s* AC) Q) = 0.
Тем самым g (t) = 0 как аналитическая функция от t, т. е. мы имеем дело с автоморфизмами.
Приведенное предложение подчеркивает роль, которую играют аналитические элементы оператора Н, выполняющего дифференцирование, но в дальнейшем исследовании пространственных
280
3. Группы, полугруппы и генераторы
дифференцирований и инвариантных состояний еще большую роль будут играть свойства множеств R (I ± iH).
В физических приложениях к описанию динамики или к описанию симметрий особенно важное значение имеет анализ двух типичных случаев.
Один из них возникает обычно в связи с изучением основных состояний. Оператор Я интерпретируется как оператор энергии, или гамильтониан, его положительность либо предполагается, либо гарантируется построением. Собственный вектор ?2 соответствует тогда состоянию системы с минимальной энергией, т. е. основному состоянию.
Во втором случае Я не обязательно выступает как гамильтониан, и предположения о положительности не делается. Однако предполагается, что его собственный вектор ?2 является циклическим и отделяющим для алгебры фон Неймана. Такая ситуация характерна для описания равновесных состояний при конечной температуре в статистической механике.
Мы рассмотрим для таких двух случаев различные критерии, позволяющие судить, когда дифференцирование порождает группу автоморфизмов. Хотя оба случая имеют свои особенности, следующий результат подчеркивает наличие общности.
Теорема 3.2.59. Пусть — алгебра фон Неймана в гильбер-
товом пространстве ф с циклическим вектором Q, а 6 — пространственное дифференцирование 9Я, выполнимое самосопряженным оператором Я, для которого Q ? D (Я) и НО, = 0. Пусть D (6) обозначает множество
D (6) = {Л; Л ? Ж, ПН, А] = б (Л) ? 3№},
и предположим, что D (б) ?2 образует существенную область определения для Н. Далее, предположим, что
либо Я 0,
либо Я — отделяющий вектор для Ж.
При таких предположениях эквивалентны следующие условия:
(1) eitH9Re~ltH = Ж, t ? R;
(2) eitHm+Q = 5Ю+Й, t ? R;
(3) е“нЖ+& = ЗЯ+Й, t 6 R;
(4) (I ± iH)-1 Ж+Q = D (6)+Q;
(5) (I ± iH)'1m+Q c= m+Q;
(6) (/ ± iH^m+Q = Ж+Q.
(Черта обозначает слабое (сильное) замыкание.)
Доказательство. Некоторые импликации очевидны и не связаны с полным перечнем предположений, например (2) => (3) и (4) =>• (5) => (6), Д так как HQ = = 0 влечет е itHQ = Q и из (1) следует, что
e(tHm+e~itH = Ш+,
3.2. Теория для случая алгебр
281
то (1) => (2). Условие (1) дает также соотношение
ОО
| сИе~‘е*1Шт+е±1‘н Е D (б)+,
о
и, применив обе его части к й, получим
(I ± iH)-iWi+Q Е D (б)+ Q.
Тем самым (1) => (4). Далее, условие (6) в сочетании с простым применением ряда Неймана для резольвенты (/ 4- iaH)-1 показывает, что при всех a ? R
(/ + iaH)-1 ЭЯ+Й Е ЗЛ+?2.
Поэтому
eitHW+Q = lim (/ - ИН/пГ'1 Ш+Q Е ЭЛ+Й,
п-> оо
т. е. (6) =ЦЗ).
В обоих рассматриваемых нами случаях доказательство завершает демонстрация импликации (3) =>• (1). Только на этом шаге привлекается предположение о существенной области определения. Рассуждения приходится проводить порознь для каждого случая.
Случай Н > 0. (3) =>• (1). Пусть А ? Шза, А' ? Ш'а и функция gопределена формулой
g (о = (A'Q, UtAQ),
где Ut = eltH. Положительность H гарантирует возможность аналитически продолжить g в верхнюю полуплоскость, и
g (ti + it2) = (A'Q, Ute~tzHAQ).
Кроме того, при всех t ? R
g(t) = (A'Q, UtAQ)= lim (A'Q, BnQ) =
TI -> oo
= lim (BnQ, A'Q) = (UtAQ, A'Q) =gji),
n-У oo
где Bn ? SO^sa выбираются так, что последовательность BnQ сходится к U tAQ. Такой выбор возможен ввиду условия (3). Значит, g принимает вещественные значения на вещественной оси, и по принципу симметрии Шварца существует такая целая функция ©, что © (г) = g (г) = © (г) при Im г > 0. Теперь заметим, что при Im г > 0
|©(2)| = |©(z)|<MQ|| || A'Q ||; ,
следовательно, © — константа по теореме Лиувилля. В частности, g (t) = g (0), т. е.
