Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
а значит, НА lt = A ltH, где Д' — модулярный оператор, ассоциированный с парой (ЭЛ, Я'). Теперь можно воспользоваться первой частью доказательства этой леммы и заключить, что = ЯЛ.
Для доказательства эквивалентности (1) -фф- (2) в теореме
3.2.61 нам нужна еще одна лемма. Предположив справедливость условия (2), зафиксируем число Т > 0 и рассмотрим дискретное скрещенное произведение Ш = W* (ЗИ, crj), где со (А) = (?2, AQ), А ? 9JJ. Пусть § обозначает гильбертово пространство
оо
§ = 0
—со
где n ? Z. Тогда из определения 2.7.3 следует, что
является алгеброй фон Неймана, порожденной операторами я (А), А ? Ш, и U, которые действуют в § по формулам
(п (А) 1)п = о!пТ (A) In, (UQn =
где ? = (?„)„ ? |>. Отметим, что [/я (Л) U* = я (о" (Л)) при А ? 9JJ. Рассмотрим вектор ?2 ? §, определенный условием
Q, л = 0,
“ 1 .0, п =? 0,
и положительный векторный функционал 6 на У1, отвечающий ?3.
3.2. Теория для случая алгебр
291
Лемма 3.2.65. Пусть ЗК — алгебра фон Неймана с. отделяющим и циклическим вектором Q, а Ш, я, U, Q и со имеют указанный выше смысл. Тогда
(1) Q — циклический и отделяющий для Ш вектор;
(2) ассоциированная с <5 группа модулярных автоморфизмов о® задается соотношениями
а? (я (Л)) - и(ст?(Л)), А ? ЭЯ, of (U) = Ц;
(3) of (В) = UBU*, В ? ж-,
(4) модулярный оператор А, , ассоциированный с Q, определяется из соотношения
(V%)n = д%, (1п)п ? $.
Доказательство. (1) Всякий элемент А алгебры SR, порожденной (как алгебра) я (501) и U, имеет вид
А = U"n(A„),
п^—р
где Ап?Ш. Отображения А ? ]—>An непрерывны в a-сильной топологии,
а % плотна в относительной этой топологии, поэтому всякий А ? ЭД обладает разложением
оо
<4— Unn(A„), Ап е Ш,
tl~ — оо
которое сходится в том смысле, что
оо
А§ = ? ипя(Ап)1
П — — оо
при всех J ? §> с носителем, состоящим из конечного набора точек. В частности,
оо
AQ= Unn(An)Q.
П = — ОО
Значит, (AQ)n = AnQ, а потому || AQ ||2 = ^=_<ю II II2- Таким образом, Q
оказывается отделяющим вектором для Щ. Все векторы (?„)„ ? 'р с конечным носителем, для которых ? 5ШЯ, содержатся в 5Ш, следовательно, Q — циклический вектор для Ш.
(2) Пусть 11—> Vt — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов в §, действующих согласно формуле
• (Vtl)n = л"?„.
Тривиально проверяются равенства
VtK (A) V) = ji (af (Л)), VtUV) = U.
Тем самым V выполняет 0-слабо непрерывную однопараметрическую группу о*-автоморфизмов алгебры Щ. Легко убедиться, что по отношению к а состояние <Ь на ЭТо есть состояние КМШ (см. определение 5.3.1 и предложение
292
3. Группы, полугруппы и генераторы
5.3.7). Но тогда ст по теореме 5.3.10 является группой модулярных автоморфизмов, ассоциированной ей.
(3) Если А ? ЯК, то, согласно (2),
af (я (Л)) = я (ст® (Л)) = Un (A) U*.
К тому же ст^ (U) = U = UUU*. Следовательно, ст® (В) = UBU* при всех
вещ.
(4) Пусть А ? У10, А = 5jn=—р и"11 (Ап)- Тогда, в силу (2),
(А"ЛЙ)„ = (af (Л) П)„ = ст“ (Л„) Q = Д»Л„0, так как (ЛО)„ = ЛЯ?2П. Поэтому
СЮ
Д('* = 0 А1''.
/1 =-СЮ
Конец доказательства теоремы 3.2.61. (2) =t- (1). Зададим в § самосопряженный оператор Н, полагая
D ф) =
Пусть б = i [Н, ¦ ] обозначает дифференцирование алгебры ЭД, выполнимое посредством Н. Мы покажем, что Я, Н, б и U удовлетворяют условиям леммы
3.2.64. Очевидно, НО = 0. Так как боа® = а™ об, согласно (2), б), то
я (А) ? D (б) и
б (я (Л)) = я (б (Л)),
если А ? D (б). Далее, UH = /Ш, так что U (z D (6) и 6 (U) = 0. Поэтому D (б) содержит все операторы вида
JJ ипя(Ап), Ап е 0(8).
п=—р
В частности, D (б) О содержит все векторы (?,„) € § с конечным носителем, для которых € D (б) й. Значит, 'D (б) Q — существенная область определения для Н. Оператор Н коммутирует с А1*, следовательно, Н коммутируете Alt, в силу леммы 3.2.65, (4). По той же лемме ст® выполняется оператором U, а так как [Н, U] — 0, то из леммы 3.2.64 вытекает, что
еИН^-ИН = Srli t ? R
