Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
ния для Н, то
R (I + аб) й = (/ + iaH) D (б) й плотно в ф. Пусть А ? 2#ю и е > 0. Выберем В ? /?(/¦+ аб) так, чтобы
\\BQ~ ЛЙ||<е.
Пусть М обозначает инвариантное среднее на множестве Сь (R) непрерывных ограниченных функций на R со значениями в С; иначе говоря, М — состояние на Сь (R), инвариантное относительно сдвигов. Тогда существует (см. замечание!? предложению 4.3.42) такаясеть (Х“, tf,i =1.....яа}а> что 0, ^
г, -I
= 1, tf € R и
П(Х
M(f) =Iim ?
“ ?=1
при всех f € Сь (R). Это инвариантное среднее Л4 задает проектор Ф, отображающий алгебру ЭД1 на централизатор так, что
Ф (Ф (С)) = М (ф (аа (С))) при всех С ? Ш, ф ? Ш?*. Существование Ф (С) гарантируется непрерывностью линейного функционала ф i—> М (ф (аю (С))) на преддвойственном пространстве
2Я* для Ш(Ш: = Ш).
Теперь учтем, что Л'^/М-lt = Н при всех f ? R, так что множество R (/ -f--f- аб) инвариантно относительно действия of, а из cr-слабой замкнутости R (/ + аб) следует, что
па
Ф (В) = lim ? Xfaaa (В) ?/?(/ + аб).
Кроме того, при всех а
"о II na
? Xfaaa(B)Q~ AQ = j X°oaa(B-A)Q
i=i U II i=i U
^ ‘</
^ ]| (В — A) Й 1|< е,
? >.“Л 7 (В-Л)й /
и, следовательно, ||~Ф (В) Й — ЛЙ || ^ е. Поэтому (9ЛШ П R U + а^)) ^ плотно в ЯЛйЙ.
Далее, возьмем А = Л* С ЗЛщ- Для него можно подобрать последовательность Ап ? R (I аб) П со свойством || AnQ — ЛЙ Ц —0. Так как Й — следовой вектор для 9JiM, то и
j Л*Й - Лй I = I Л*Й - Л*Й I = I Ллй — AQ [J -» 0.
Значит, заменив Ап на (Ап + Л *)/2, можно, не ограничивая общности, считать Ап = А* ?./?(/ + аб). Рассмотрим операторы Вп = В* ? D (б), определенные условием
Ап = (/ + аб) (Вп).
Эти Вп ? так как Д и Н сильно коммутируют и потому сг“ о б = 6 ° of, Кроме того,
BnQ = (/ + /а#)-1 AnQ -*¦ 'ф.г {I + iaH)~x ЛЙ.
3.2. Теория для случая алгебр
287
Поскольку для вектор Я отделяющий, для 50?^ он циклический, и для любого А' ? ЗЯщ мы имеем ВПЛ'Я = A’BnQ—у A'lj). Таким образом, для последовательности операторов {Вп} определен граф-предел с плотной областью определения. Но все Вп самосопряжены и || (/ ± iBn)~1\\ ^ 1, так что ссылка на лемму 3.1.27 показывает, что этот граф-предел является оператором. Обозначим его через В. Далее, положим Qn = (/ ±iBn)_1Q и проведем оценку
II Q„ - Ят II < II (/ ± (Вп -Bm)(I± iBm)'1 Q ||
|1 (Вп — Вт) (I ± iBm) 1 Я || = || (I -F iBm) 1 (Вп — Вт) Q ||
^ II (Вп — Вт) Q |i
(на третьем шаге здесь учтено, что Q — следовой вектор для Отсюда
следует, что Qn образуют последовательность Коши, и на основании равенства
(/ ± iBn) A'Qn — A'Q,
справедливого для А' ? мы заключаем, что d'R (I ± iB). Но тогда,
itB itB
по теореме 3.1.28, оператор В самосопряжен не е в сильной топологии
равномерно по t на компактах. Тем самым для произвольной бесконечно дифференцируемой функции х с компактным носителем из представления
(X (Вп) - х (В)) I = j dtx (i) (eiW» - eitB) \
вытекает сильная сходимость x (Br) -v x (В). Пусть функция / такова, что /' = %. Поскольку Вп ? D (S), то f (Вп) ? D (S) по теореме 3.2.32 и
оо 1
i (1—л) РВ„
6 (f (Вп)) = j dpi (р) j dre'rpB4 (Вп) е
о
Следовое свойство Q на 3Jla дает
О = (П, 6 (/ (Вп)) Q) = j dpi (р) е'рВ% (Вп) Q j =
= (Q, %(Bn)6(Bn)Q).
Отсюда следует, что
(О, x(Bn)AnQ) = (Q, %(Bn)BnQ),
так как Ап = (/ + аЬ) (Вп)¦ Значит, совершив предельный переход в сильной топологии, получим
(fi, X (В) A П) = (fi, X (В) BQ).
Если х положительна, то верна оценка
|(fi, х (В) BQ) | = | (х (В),/2 Q, ЛХ(В),/2Й)|<||Л||(Й, Х(5)Й).
Но Q — отделяющий вектор, поэтому, согласно спектральной теории, || В || ^ ^ М ||. Таким образом, мы доказали, что для А = А* ? найдется такой В = В* ? 501и, что
ВО, = (/ + iaH)~lAQ.
Далее, из соотношения
iHJ\V2CQ= Jbl/2iHCQ, выполняющегося при С из D (б) Q, существенной области определения для Н, легко получить, что (/ + iaH)'1 коммутирует с 5 = JД1/2 (так как (/ + ia//)_1
288
3. Группы, полугруппы и генераторы
