Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
1) Недавно было доказано, что если 6 —генератор сильно непрерывной однопараметрической группы *-автоморфизмов С*-алгебры Я, а 8' — симметрическое дифференцирование 9t, возможно неограниченное, с той же областью определения, что и о, то 6' — диссипативный оператор и 8 + аб' будет генератором при достаточно малых a f R [С. J. К. Batty, Small perturbations of С *-dynamical systems, Commun. Math. Phys., 1979, 68, № 1, 39—43].
3.2. Теория для случая алгебр
297
можно показать, что этот результат неверен для С*-алгебр, даже для простых С*-алгебр с единицей.
Доказательство. Из теоремы 3.1.38 вытекают импликация (2) => (1), а также совпадение D (ба) = D (бр) и ограниченность ба — бр по норме на D (ба) при выполнении (1). Но тогда ба — бр расширяется по непрерывности до ограниченного дифференцирования 80, действующего из С*-алгебры D (б0)®’® в 9JL Предложение 3.2.24 позволяет заключить, что 80 обладает а-слабо замкнутым расширением б на 90t с || б || = |[б01].
Теперь рассмотрим более общие случаи аппроксимации, чем
О (^)-случай. Начнем с результатов для унитарных групп в гильбертовом пространстве. Теорему 3.1.36 можно улучшить.
Предложение 3.2.70. Пусть Ut = ехр \itH\ и Vt = = ехр \itK\ — сильно непрерывные унитарные группы в гильбертовом пространстве ip. Следующие условия эквивалентны:
(1) существуют такие ех > О и 8Х > О, что
II Ut-Vt\ <У2-г,
при О < t < 6Х;
(2) существуют такие е2 > 0, б2 > 0 и такие ограниченный самосопряженный оператор Р и унитарный оператор W, что
Н = W (К + Р) W*,
I W*U(W — Ut I < /2 — е2 при всех 0 с t < б2.
Если эти условия выполнены, то можно в качестве W взять унитарную часть полярного разложения оператора
Q = ^-J
о
и W будет удовлетворять оценке || W — /1| с \/2 — ег. Кроме того,
II W*UtW — Ut I = 11 Vt-Ut\ + 0(t),
\\W*UtW-Vt\\ = 0{t)
при t —>- 0.
Доказательство. Для начала укажем, что импликация (2) =>- (1) по существу содержится в теореме 3.1.36.
(1) =>• (2). Нам нужны некоторые результаты о числовой области значений оператора. Напомним, что для ограниченного оператора А в гильбертовом пространстве § числовая область значений W (А) определяется как следующее подмножество в С:
U7 (Л) = {(t, лч>); * € и 11= 1>.
Можно показать, что W (А) — выпуклое множество, а его замыкание содержит спектр с (А) оператора А. Если А — нормальный оператор, т. е. А*А — АА*,
298
3. Группы, полугруппы и генераторы
то W (А) в точности совпадает с выпуклым замыканием спектра. Сектор S (Л) оператора А определяется как замкнутый конус, порожденный W (А), т. е.
S (А) = {(г|), Лг|з); ' г|з t ?>}.
Для ограниченного А известно также, что если частично изометрический оператор U в полярном разложении А = U \ А\ будет унитарным, то cr (U) ? S (А). Теперь с помощью спектральной теории получаем из (1), что
W (UtV_t) S jz; z е С, [ z | < 1, Rez > V2 е, —гЦ2\ при 0 < / < 6t. Введем
б,
Q ==~t\ dsU*V-s-
О
Выпуклость множества в правой части последнего включения приводит к включению
W (Я) ?= |z; z ? С, | z | ^ 1, Re z > V2 — ej/2|.
В частности, 0 ф W (Я) э cr (Я), т. е. оператор Я обратим и Я 1 ограничен. Доказательство теоремы 3.1.36 показывает, что
И utav_t - я || = о (о = и vta*u_, - я* ц.
Следовательно
I Vt9*Q.V_t — Я*Я || = || (VtQ*U_t) (UtQV_t) — Я*Я |]
< II V.(Sl*U_t - Я* II II UtQV_t I f II UtQV_t - Я II = О (t).
Согласно предложению 3.1.23, оператор |Я|'2 принадлежит области определения дифференцирования, порождающего группу автоморфизмов алгебры 3? (§), выполнимую группой Vt- Тогда, в силу следствия 3.2.33, в область определения этого дифференцирования входит и |Я|-1. Значит,
II V t I Я l^1 ^_<-|Я|-1 || = О(0.
Далее, обозначив через W унитарную часть полярного разложения Я, имеем W = Я | ЯI"1 и
I UtWV_t - ГII = II (UtQV_t) (Vt I я I"1 v_t) - я | Я |-ij|
HltW-г-ЯЦ lf| Я l_11| 4-1| Я || Ц^|Я|-1 — I Я |-1 п = О (/).
Затем введем операторы Vt = WVfW*. Для них || Ut — Vt II = О (t). Тем самым генераторы iH и WiKW* отличаются на ограниченный кососопряженный оператор (пример 3.1.40), так что связь между Н и К установлена.
Отметим еще, что || W*U(W — V11| = О (t), так как оператор W*iHW —
— iK = iP ограничен. Кроме того, соотношение
U t — V t — U t — W*UtW + W*UtW — V t
позволяет заключить, что
\\Ut-Vt\\ = \\Ut-W*UtW\\ + 0(i).
Наконец, поскольку
S (Я) S {z; z?C, Re z > (V^2 — ej/2) | Im z |},
то S (tt7) содержится в том же самом конусе. Значит, о (W) лежит в этом ко-
