Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем, что t i—> окажется 1-коциклом тогда и только тогда, когда z (s, t) = И при всех s, t. Мы собираемся модифицировать W t так, чтобы это условие выполнялось.
Из определения г сразу получаем оценку
||z (s, 0 — 11 |К Зе' при | s \ + | t К 6.
Определим индуктивно t ? R i—? %t ? (8)> полагая
Я0 = А, ^6/2-(<+n) = ^6/2-nz (6/2 п, 6/2 t)
3.2. Теория для случая алгебр
303
при 0^ / «С 1, га ? Z. Далее, определим г' (s, t) соотношением
г' (s, t) = Xsas (kt) г (s, t)
при s, t ? R. Ясно, что z является 2-коциклом и отображение s, 11-ч» z (s, /) борелевское. Так как z (б/г/2, 6^/2) = ^(,nj2a6ni2 (^6//2) ^вп/2’ а ^бг/2 = ^ при 0 ^ ^ 1, то
г' (р, 0 = 11 при 0 < t < 6/2, р ? -j- Z.
Если 0 ^ s, f ^ 6/2 и s + / ^ 6/2, то г' (s, t) = z (s, t). Если 0 ^ s, t ^ 6/2,
но s -f- t > 6/2, to Xs+t =г (6/2, s + t — 6/2) и z' (s, t) = z (s, t) z (6/2, s +
+ t — 6/2)-1. Поэтому из 12 (s, t) — 11 I < Зе' при 0 ^ s, t ^ 6/2, следует, что
|| г' (s, t) || ^ 6e' при O^s, 6/2.
Для продолжения доказательства нам необходима следующая Лемма 3.2.74. а) Если z — такой 2-коцикл, что
z (s, /) = 1 при Ос / < 1,
то
z (s, t) = И при s, t ? R. б) Если z — такой 2-коцикл, что
z (п, t) = И при 0 с t С 1, п ? Z,
то при любом t ? R функция ь > a_s (г (s, f)) периодична с пе-
риодом 1.
Доказательство. Их тождества для коциклов, записанного в виде
г (га, 1) 2 (га + 1, t) = ап (г (1, t)) 2 (га, 1 + t),
с помощью итераций выводится, что в каждом из случаев а) и б) при t :> 0
и га б Z мы имеем г (/г, ^) = *3. 'Записав же это тождество в виде
2 (—га, га) = а_,г (2 (/г, —/)) г (—га, га — t),
мы установим, что г (га, —t) = 11 при / ^ Z, и в частности г (/г, —1) = 11
при га ? Z, га :> 0. Поэтому по индукции получаем,.записывая то же тождество в форме
г (га, —1) z (п — 1, 0 = ап (г (—1, 0) г («, t — 1),
что г (га, t) = И при п ? Z, га > 0, ( f R. Однако в силу предыдущего варианта записи тождества имеем теперь г (—/г, га — t) = 11 при п ? Z, га > 0.
Значит, г (га, t) = 11 при я ? Z, t ? R. Применяя те же рассуждения, но
только с sZ вместо Z, приходим к а). Чтобы установить б), используем тождество для коциклов в форме
г (га, s) г (га + s, t) = ап (г (s, /)) г (га, s + f)-
Учитывая, что г (га, s) = 2 (га, s -(- ^) = 11, получаем
a-n-s (2 (« + s, /)) = a_s (г (s, 0),
откуда и следует б).
Теперь возобновим доказательство теоремы 3.2.73,
304
3. Группы, полугруппы и генераторы
Отметим, что z' (р, t) = 11 при 0 ^ t ^ 6/2, р ? (6/2) Z, так что утверждение б) леммы 3.2.74 гарантирует периодичность функции s I—-> a_s (z' (s, t)) с периодом 6/2. Значит, оценка
I г' (s, t) — 11Ц < 6е'
справедлива при всех s, когда 0 ^ i ^ 6/2. Пусть теперь log обозначает главное значение логарифма, определенного на комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. Из условия е< 1^71/18 следует, что 6е' < ^2, поэтому, с учетом оценки для г', при 0 ^ t ^ 6/2 будет определено
у (s, t) = log (г' (s, t)).
Используя тот факт, что г' — коцикл, получаем
y(s, 0) = у(0, 0 = 0,
У (s, t) + y(s+ t, и) = as (у (t, и)) + у (s, г + и)
при 0 < и, t + и ^ е. При выводе последнего соотношения учитывается, что для г’ справедлива оценка с V 2. Отображение s, t t—> у (s, t) является борелевским. Введем еще борелевское отображение с : t ? [0, 6/2] i—> с (t) ? 3sa по формуле
6/2
c(t) =-------j dscc_s (у (s, 0)-
о
Периодичность s I—> a_s (у (s, t)) дает
6/2+u
С (0 =-------g- j dsa_s (y (s, t))
U
при всех и ? R, а простые выкладки, основанные на выведенных выше свойствах у, показывают, что
С (S + 0 — «S (с (0) — с (s) = у (s, (), если 0 sg; s, s + t sg: 6/2. Тем самым, определив А/ : t ? [0, 6/2] i—> ? Зза
