Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
при 0 с а < 1. Мак-Интош также заметил, что для функции ga с компактным носителем, которая вне нуля дважды непрерывно дифференцируема, а вблизи нуля совпадает с
Тем самым ga (Л) ? D (б) при а > 1 (по теореме 3.2.32). Это накладывает довольно жесткие ограничения на поведение /.
Примеры 3.2.34 и 3.2.35 основаны на изучении дифференцирований алгебр 3 (§) и (ф), проведенном Браттели и Робинсоном в [Вга 5]. Метод поправки б на ограниченное дифференцирование, с тем чтобы возмущенное дифференцирование б? удовлетворяло соотношению бв (Е) = 0, восходит к Капланскому [Кар 3]. Утверждение относительно вигнеровых симметрий, извлеченное из этих примеров, можно сформулировать и иначе — можно утверждать, что с помощью априорных оценок неограниченных дифференцирований сделан вывод о тривиальности когомологий R.
Пример 3.2.36 — это частный случай приводимого ниже результата Эллиотта [ЕП 7], обобщающего более ранние теоремы Кальмана [Ка1 1,2]. Доказательство этого результата основано на обобщении идей, примененных в примере 3.2.36.
Теорема. Пусть Ш—алгебра фон Неймана, а {тп}п>1 — последовательность ее * -автоморфизмов, сильно сходящаяся к *-автоморфизму х, т. е.
при всех А ? Ш. Тогда хп сходится к х по норме, т. е.
Привлекая функциональное исчисление для элементов из областей определения D (б), можно исследовать замкнутые дифференцирования РГФ-алгебр. Следующая теорема была доказана
fa (x) = |x|(log| log | X | |)'a,
ga (X) = MlbgMT (log I log И D'“
выполняются соотношения
<+oo при a > 1,
= +oo при О С а < 1.
lim К (Л) — х (Л)I = О
lim sup л€50?\{о}
тДЛ)-т(Л)1/||Л||,= 0.
314
3. Группы, полугруппы и генераторы
Сакаи для генераторов в его первой статье о неограниченных дифференцированиях [Sak 2J, а распространение этого результата на произвольные замкнутые дифференцирования предложено в [Вга 5].
Теорема. Пусть б—замкнутое дифференцирование РГФ-ал-гебры 21. Тогда существует такая возрастающая последовательность {21„} матричных подалгебр 21, что {] пУ1п ? D (б) и U п^п плотно в 91. Если б —генератор, то можно выбрать U п^п с0~ стоящим из аналитических элементов для б.
Эта теорема натолкнула ряд авторов на изучение так называемых нормальных дифференцирований РГФ-алгебр, т. е. дифференцирований б, обладающих существенной областью определения вида иЛ, однако до сих пор открыт вопрос о том, все ли генераторы нормальны (в этой связи см. предложения 3.2.52 и 3.2.53).
Другое, более специализированное следствие функционального исчисления на D (б) гласит, что нулевое дифференцирование — единственное замыкаемое дифференцирование алгебры непрерывных функций на канторовом множестве. Это объясняется тем, что проекторы из области определения замыкаемого дифференцирования этой алгебры должны быть плотны в множестве всех проекторов, а вследствие абелевости алгебры результат дифференцирования всякого проектора должен быть нулевым элементом.
Пункт 3.2.3
Спектральная теория для абелевых групп автоморфизмов операторных алгебр давно входит в фольклор, известный многим специалистам по математической физике. Например, совершенно стандартной процедурой является регуляризация с помощью функции, имеющей соответствующие свойства носителя в импульсном пространстве. Однако в той форме, как она здесь изложена, теория была развита лишь сравнительно недавно Арвесо-ном [Arv 1 ], Борхерсом [Вот 4] и Конном ICon 4]. Предложение
3.2.40 приведено в [Соп 4], за исключением пункта (6), который был независимо отмечен разными авторами и впервые, по-видимому, встречается у Икуниси и Накагами [Iku 1]. Предложение
3.2.41 принадлежит Олесену [Ole 1]. Метод доказательства теоремы Борхерса—Арвесона (теоремы 3.2.46) с помощью предложений 3.2.43 и 3.2.44 применялся Арвесоном [Arv 1 ] и Борхерсом [Вог 4]. Мы внесли в это доказательство несколько упрощений. Первоначальное доказательство Борхерса [Вог 2] опиралось на теорему о дифференцированиях (следствие 3.2.47) и на сложную технику аппроксимации. Для случая когда унитарная группа U, фигурирующая в теореме 3.2.46, имеет основное состояние,
Замечания и комментарии
315
в [Вог 2] дано очень простое доказательство (см. следствие 3.2.60). Теорема Борхерса в своей общей форме, приведенной в [Вог 2], относится не к группе R, а к группе R^1, и вместо условия положительности спектра делается предположение о принадлежности спектра верхнему световому конусу. Подробное рассмотрение этого круга вопросов читатель найдет в главе 8 монографии [[Ped 1]]. Относительно условий, гарантирующих, что и ло-ренцевы «подталкивания» (бусты) также принадлежат алгебре, см. работу Стритера [Str 1].
Теорема о дифференцированиях (следствие 3.2.47) получена Кадисоном [Kad 7] и Сакаи [Sak 4]. Исходное ее доказательство гораздо короче, но менее прозрачно, чем приведенное нами. Надо отметить, Что эта теорема была доказана задолго до разработки математической теории спектров групп автоморфизмов. Дифференцирования С*-алгебр не обязаны быть внутренними, даже если алгебра имеет единицу. Соответствующая проблематика изучалась рядом авторов, но наиболее полные результаты получили Эллиотт [ЕП 3] и Акеманн и Педерсен [Аке 1]. Добавочное осложнение здесь связано с тем, что алгебра может не иметь единицы и потому под внутренним здесь приходится понимать такое дифференцирование 6, которое выполнимо некоторым элементом Н, принадлежащим так называемой алгебре мультипликаторов М (1) рассматриваемой С*-алгебры 1. Напомним, что второе сопряженное пространство 51** алгебры 51 может рассматриваться как алгебра фон Неймана, содержащая 51 (см. п. 3.2.1). Тогда М (51) можно определить как множество тех В ? 51**, для которых Б51 с= 'Л и 5\В <= 51. Отметим, что М (51) является С*-алгеброй и ')( е М (51) s 51**, причем М (51) = 51 тогда и только тогда, когда 51 имеет единицу. Например, М (2?%? (?>)) = = (?>). Всякий мультипликатор, очевидно, задает дифферен-
