Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
— 0. Тем не менее можно показать, что всякая максимальная вероятностная мера ц псевдососредоточена на & (К) в том смысле, что (г (В) = 1 для каждого бэровского множества В, содержащего & (К). В частности, если бы <8 (К) было бэровским множеством, то (г была бы сосредоточена на <8 (К), К сожалению, % (К) оказывается бэровским в том и только том случае, когда К метризуемо (см. замечания и комментарии к главе), и поэтому полученное условие имеет ограниченную область применимости. Однако изучение носителей вероятностных мер с фиксированным барицентром со часто можно свести к изучению граней1’ Fa множества К,а метризуемости и прочих свойств Fa обычно достаточно для обеспечения того, чтобы носитель ц принадлежал <% (К). Таким образом, в проблеме исследования максимальных мер играет роль структура граней множества К.
Далее, очертим алгебраические аспекты теории разложений, которые возникают, если подмножество К принадлежит пространству Eft состояний С*-алгебры 51. Полезно сначала рас-
Грань F компактного выпуклого множества К определяется как подмножество в К, обладающее тем свойством, что если сo?F и ш = —
конечная линейная комбинация элементов coj ? К, то со* ? F при i = 1, ..., п. В отличие от стандартного употребления термина, в этой книге мы не предполагаем, что грань является замкнутым подмножеством К¦
4.1. Общая теория
323
смотреть разложение данного состояния со в конечную выпуклую комбинацию состояний сог:
П
со (Л) = ? *ч<о*И), А ? 91.
1=1
Для перевода на язык теории меры определим аффинные функционалы А на Е<%, полагая
А (со) = со (Л)
при всех Л ? 91, и введем диракову, или точечную, меру 6Ш. Ясно, что
П
Л(<о)=|Д.(Л), Н. = ЕМШ;.
I (=1 1
Теперь заметим, что ^со; < со, а значит, по теореме 2.3Л9,
Ь,щ(А) = (Т&'0, яш(Л)Йи),
где Т; — некоторый положительный оператор из коммутанта (91)'. Тем самым разложение со соответствует конечному разложению единицы
11 = 23 Ti 1=1
в коммутанте яи (91)'. Интуиция подсказывает, что более общим интегральным разложениям со соответствуют аналогичные, но уже континуальные разложения И в яш (91)', и в этом плане возникает тесная связь с операторными разложениями.
Простейшая форма конечного разложения возникает, когда Tt являются взаимно ортогональными проекторами Pt в яи (91)'. В этом случае, как легко видеть, представление (?>и, яи) будет прямой суммой представлений яш.). Поэтому можно гово-
рить о разложении на ортогональные, или независимые, компоненты. Семейство \Р(} порождает конечномерную подалгебру 93 в я;ш (91)', и конечные ортогональные разложения такого типа находятся во взаимно-однозначном соответствии с алгебрами 93. Для большей ясности перепишем разложение со с помощью проекционного оператора Р = [ЗЗЙй]. Имеем
П
Pi|3 = 2j {Р г^со. ^) р Ао.
i=i
%i = (?2Ш, РгЙш), ^jCOj (Л) = (Р,•?2Ш, (Л) Qffl).
324
4. Теория разложения
Воспользовавшись ортогональностью Pt и тем, что Pt ? яш (91)', для ассоциированной с нашим разложением меры |а, получаем
П
М' (-^1^2 • ¦ • Ат) = (^i) COj (Ла) ... CO, (Лот)
i=\
n
= E пш(Л,)Я^ш) •
¦ (^Mi (^г) ¦ • ¦ (^ю> па(Ащ) ^г^ш)
п п
= ? ••• МЛОЯАо).
'•=I ‘т-1=1
• (Л^а. «аИг^^а) • • • (Pim.iQa' n«.Mm)fiJ
= (Йт. п(В(Л1)Рп(В(Л2)Р ... Рям(Лт)С2и).
Эта выкладка, кроме всего прочего, показывает, что семейство \Рла (Л) Р; А ? 21} порождает абелеву алгебру в пространстве Более того, она указывает алгоритм построения более общих мер |х, исходя из проекторов Р, для которых PQ№ = Q^, а алгебра Рла (21)" Р абелева. Располагая таким Р, можно проверить, что соотношениями
ц (ЛДг . .. Ап) = (Qa) лш (Лх) Р лм (Л2) Р ... Рлт (Ап) Ц») (*)
задается мера |а, с барицентром со. Оказывается, меры из этого класса (ортогональные меры) приводятся во взаимно-однозначное соответствие с указанными проекторами Р, а также во взаимнооднозначное соответствие с абелевыми алгебрами фон Неймана S S лм (21)'. Соответствующие друг другу объекты связаны правилами типа (*) и
Р = [23QJ, 93 = |ям(21) U Р\' и т. д.
Интересно также, что отношение порядка <( для ортогональных мер отвечает упорядочению по включению для соответствующих абелевых алгебр 23 и обычному упорядочению для соответствующих проекторов. В частности, меры, которые максимальны среди ортогональных мер, возникают из максимальных абелевых подалгебр фон Неймана 23 в коммутанте при спектральном разложении 23. При достаточно хороших условиях, например при наличии свойств метризуемости, максимальные ортогональные меры будут максимальны и в множестве всех мер с заданным барицентром.
