Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
4.1. Общая теория
327
что В П А = 0. Хотя упомянутые сейчас понятия по видимости аналогичны, следует подчеркнуть, что аналогия эта довольно обманчива. Существуют примеры, когда
(1) А —борелевское множество,
(2) ц, псевдососредоточена на А,
(3) ц (А) = 0.
Если ц, сосредоточена на Л, то мы будем называть А множеством сосредоточения меры, и сходным образом определяется множество псевдососредоточения. Больше употребимо понятие множества сосредоточения, но и второе понятие находит естественные применения в общей теории, которая изложена ниже.
Мера Дирака, или точечная мера, с носителем со обозначается символом би. Таким образом, бш (/) = / (со) для любой функции / ? С (К)¦ Всякая мера ц, с конечным носителем |соъ со2, ..., со„} представляет собой суперпозицию
Ц = Е*А,
i=i
мер Дирака с коэффициентами ^ 0. При этом
и(/0=1Ы = SV
1=1
Наконец, отметим, что меры М+ (К) образуют положительный конус, наделенный естественным отношением порядка: ц, ^ v означает, что ц (f) v (f) для всех положительных f ? С (К). У этого конуса есть интересное геометрическое свойство, которым мы будем в дальнейшем пользоваться. Отношение порядка ^ превращает его в решетку, иными словами, для всякой пары |л, v ? М+ (К) определены точная верхняя грань ц \/ v и точная нижняя грань (i Д v, принадлежащие М+ (К)- Явные выражения для этих граней таковы:
И V v = — v)+ + v> Ц Д v = v - (ц - v)_,
где (ц — v)± обозначает положительную или отрицательную часть незнакоопределенной меры |А — v.
После этой прелюдии введем понятие барицентра b (ц,) меры ц ? Mi (К), полагая
b (ц) = j (со) со;
здесь интеграл понимается в слабом смысле. Далее, определим множество Мю (К) как подмножество в Мг (К), состоящее из всех мер с барицентром со, т. е.
' Ма(Ю = ц ? Ml (К), 6 (|Х) = со}.
328
4. Теория разложения
Существование барицентра для произвольной меры не вполне очевидно, оно демонстрируется в следующем предложении, где также приводится полезная аппроксимационная процедура.
Предложение '4ЛЛ. Если [i ? (К), то существует един-
ственная точка b (|л) ? К, барицентр ц,, такая что
/ (Ь М) = ц (/) = j d[i (со') / (со')
при всех / ? А (К)- Более того, существует сеть ца ? (К),
состоящая из мер с конечными носителями, которая слабо* сходится к (л и удовлетворяет условию
Ь (Ма) = Ь (|х).
Доказательство. Если носитель fi конечен, т. е. fi = У] с Я; >. О
и ^ ? Я; = 1, то b (|х), очевидно, существует и
п
Ь (ц) = JjXiWi.
i=i
Так как множество К выпукло, то b ((а) ? К. Но всякая мера ц ? Мг (К) может быть аппроксимирована в слабой* топологии сетью мер |ха ? M-у (К) с конечными носителями (это просто аппроксимация интеграла римановыми суммами). Барицентры b (jxa) мер jxa должны лежать в /С, а компактность К гарантирует существование сходящейся подсети jb (|ха,)|. Пусть b (jx) ? К будет пределом этой подсети; тогда
/ (Ь ([*)) = Пш / (Ь (ц„,)) = lim |ха, (/) = |х (/) а’ а'
при всех / ? А (АГ). Но элемент b (jx), разумеется, единствен, потому, что функции из А (К) разделяют точки К по теореме Хана—Банаха. Таким образом, барицентр b ([i) существует.
Далее, рассмотрим все конечные разбиения °U = {Ui)[<i<n компакта К на бэровские подмножества Ui. Эти разбиения образуют направленное множество, если под соотношением порядка °и-^У‘ понимать, что всякое Vi ? Т является подмножеством некоторого U^°U. Пусть %; обозначает характеристическую функцию, или индикатор, множества Ut; зададим Я* и (х,, полагая Я; = ц (Ut) и Я; d\ii = ti dp- Пусть w, = b (|i;) и меры jx^ ? М1 (К) определены соотношением
п
P°U =
Носитель такой меры конечен и
п / п >
ь, (f1^)= 2j Kib ^ = b = ь (f1)-
Кроме того, если / ? С (К), то
П
| № ~ Iх (f) j < Ц Xi I f (®i) ~ W (/) I < ^ sug I f (®0 f (®) I-
4.1. Общая теория
329
Наконец, по е > 0 выберем такое конечное семейство открытых множеств Gj, что| f (x) —f (у) | < 6 при х, у, $ Gi и также К ? U?=iЗададим Ui формулой
Ui = Gi\ П Gj.
/<«
Тогда ||x^ (/) — (x (/) j < e. Поэтому [x^ (/) |x (/) для всякой /?С (К), т. e. |x^ слабо* сходится к |х.
Теперь вернемся к проблеме барицентрических разложений-т. е. каждому со ? К попытаемся сопоставить меру |х ? Ма (К), сосредоточенную на множестве крайних точек <§ (/(). Следуя программе, изложенной во вводном пункте, мы сначала зададим на М+ (К) отношение порядка.
