Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, (1) =>¦ (2) согласно первой части теоремы, а импликация (2) =>¦ =>¦ (1) содержится в предложении 4.1.10.
Замечание.' В несколько более слабой форме второе утверждение теоремы 4.1.11 можно распространить на некоторые специальные подмножества К• Борелевское подмножество F называется устойчивой гранью К, если из м ^ F и ц )> 8(J) следует, что (д сосредоточена на F. Если устойчивая грань F метризуема и сепарабельна, то, рассуждая аналогично предыдущему, можно доказать, что <8 (F) = df (К) П F = <8 (К) П F Для подходящей функции / ? S (К)- Очевидно, <g (F) = <8 (К) П и если / строится,
как выше, с помощью точек со„ ? F, то точно так же проверяется, что со ? F, со Ф <8 (F) влечет со Ф df (К). Поэтому <8 (F) з
Э df (К) П F, и из предложения 4.1.10 вновь следует равенство
множеств. Тем самым, при условии |я )> бш для со ? F, мера |я максимальна тогда и только тогда, когда (д (<8 (F)) = 1. С анало-
338
4. Теория разложения
гичными утверждениями об устойчивых гранях мы встретимся в пункте 4.1.4.
Теорема 4.1.11 вместе с предложением 4.1.3 показывает, что всякая точка со ? К является барицентром некоторой максимальной вероятностной меры и максимальные меры псевдососредото-чены на <S (К). В самых удачных случаях, например при метризуемости К, максимальные меры действительно будут сосредоточены на & (К)- Теперь мы выведем условия, гарантирующие, что каждая точка со ? К окажется барицентром единственной максимальной меры.
Для того чтобы сформулировать эти условия единственности, удобно предположить, что К. является основанием выпуклого конуса с вершиной в нуле 1}. К этому случаю всегда можно перейти, заменив X на R X X, отождествив К с j 1} X К и взяв в качестве С конус, порожденный (1} X К.. Хотя существует много способов реализовать К как основание конуса С, все такие конусы будут линейно изоморфны, потому что каждая точка конуса имеет вид ^со с и » ( К, Поэтому аффинные свойства С зависят лишь
от афинных свойств К и не зависят от способа погружения.
•На конусе С можно задать естественное упорядочение, полагая | ^ г| тогда и только тогда, когда ? — г| ? С, и мы будем говорить, что С является решеткой, если это отношение порядка задает структуру решетки. Компактное выпуклое множество К, служащее основанием для конуса С, называется симплексом, если С является решеткой. Отметим, что данное определение симплекса в точности соответствует обычному определению для конечномерного случая. Действительно, v-мерный симплекс {(^lt ..., X,v+1); 0, = Ч служит основанием (v + 1)-мерного
конуса {(^ь Х%, ..., X,v+i); 0]. Более общий пример симплекса
доставляет множество всех вероятностных мер (К). Это множество образует основание конуса С = М+ (К), а в начале пункта было отмечено, что С является решеткой. Несколько менее очевиден пример, доставляемый следующим предложением:
Предложение 4.1.14. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого пространства, и пусть М — подмножество в М+ (К), состоящее из мер, максимальных относительно упорядочения Тогда М будет выпуклым под-конусом в М+ (К), и всякая сумма или интеграл мер из М содержится в М. Далее, из условий |л ? М и v < ^ следует, что v ? М. Наконец, М — решетка.
Основанием выпуклого конуса Р с вершиной в точке 0 называется всякое выпуклое'подмножество К С Р, такое, что 0^i(n любой ненулевой элемент ф € Р единственным образом представим в виде ф = %а>, где % > 0 и со ? К.
4.1. Общая теория
339
Доказательство. По теореме 4.1.7 мера и максимальна тогда и только тогда, когда и (f — /) = 0 при всех / ? S (К). Это сразу же позволяет заключить, что суммы и интегралы максимальных мер максимальны и что максимальные меры образуют подконус конуса М+ (АГ). Но если / ? 5 (К), то f — / > 0 и из
V ^ |х в сочетании с и (/ — /) = 0 следует, что v (f — /) = О, т. е. что v максимальна.
Теперь для точной нижней грани и Д v мер |х, v ? М мы имеем и Д v ^ н> так что и Д v ? М. Более того, если р ? М+ (АГ) и р ^ н> р ^ v, то р ? М, а поскольку (i Д v — Р И Л v ? М, то |х Д v — р ? М. Итак, ц Д v оказывается точной нижней гранью и и v по отношению к естественному упорядочению конуса М. HonVv=:rH + v — HAV:^H+V€^> следовательно И V v ? М. Тем самым М —решетка.
Это предложение применяется при установлении следующей характеризации единственности барицентрических разложений по максимальным мерам.
Теорема 4.1.15. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого пространства. Следующие условия эквивалентны:
(1) всякая точка со ? К является барицентром единственной максимальной меры;
(2) К является симплексом;
(3) верхняя обёртывающая f каждой функции f ? S (К) есть аффинная функция.
Доказательство. (3) =*- (1). Пусть и ? Ма (АГ). Мы сначала покажем, что Т (со) = и (j). Пусть сеть {н«} в Ма (АГ), состоящая из мер с конечным носителем, сходится к |х в слабой* топологии. Существование {и«} гарантируется предложением 4.1.1. Если взять g ? —S (АГ) и g^f, то
