Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В данном пункте будут использоваться стандартные алгебраические обозначения, введенные в главе 2, наряду с новыми обозначениями, введенными в предыдущем пункте. Кроме того, с каждым элементом С*-алгебры % мы свяжем непрерывную аффинную
функцию А на пространстве состояний Ещ, определив ее равенством
А (со) = со (Л).
Отметим, что согласно теореме Хана—Банаха все аффинные непрерывные функции на Е% имеют такой вид.
344
4. Теория разложения
Для того чтобы ввести понятие ортогональной меры [i на Ещ, сначала необходимо познакомиться с понятием ортогональных состояний. Существует несколько возможных определений, которые согласованы между собой, как показывает приводимая ниже
Лемма 4.1.19. Пусть сох, со2 — положительные линейные функционалы на С*-алгебре 21 и со = + со3. Следующие условия
эквивалентны:
(1) если со' — положительный линейный функционал на 91,
удовлетворяющий условиям со' < сох ы со' < со2, то со' = 0;
(2) существует такой проектор Р ? яю (91)', что
coi (Л) = (*Ч>. яш(Л)йш), ш2(Л) = ((11-Р)й(в> яш (Л) QJ
(3) представление, ассоциированное с со, является прямой суммой представлений, ассоциированных с сох и со2:
= © Quiz' = Ф = ^(0! ф ^<02'
Доказательство. (1) =г- (2). По теореме 2.3,19 существует такой оператор Т, что Т ? (St)' и
coi (А) = (TQa, па (A) fij.
Введем Т' = Т (т! — Т)\ тогда 0 ^ Т' ? (St)' и линейный функционал со',
определенный равенством
со' (А) = (Т (fl - Т) Ош, (A) QJ,
будет положительным. Но Т' ^.Т и Т' ^ 11 — Т. Значит, со' ^ соь со' со2, и условие (1) в сочетании с цикличностью влечет равенство Т (11 — Т) = 0, т. е. Т — проектор.
(2) =>• (1). Вновь с помощью теоремы 2.3.19 выберем положительный оператор Т' ? яю (Щ)', для которого
ш' (А) = (T'Qa, (A) QJ.
Теперь, если со' ^ сох и со' ^ со2, то Г' < Р и Т' ^ 11 — Р. Но тогда
0 < РТ'Р < Р (И — Р) Р = 0 и 0 < (И — Р) Г (И — Р) < (И — Р) Р (И —
— Р) = 0. Следовательно, (Т’)1!2 Р = 0 = (Г')1/2 (И — Р), так что (Г')1^2 = 0. Тем самым со'= 0 и условие (I) выполняется.
(2) =>• (3). Если взять (§!, яь Qx) = (Р$а> Рла, PQ ), то из утверждения
теоремы 2.3.16 о единственности следует, что (§ь яь Qx) ~ (Фи,- > ^ «,)•
Аналогично яИг> Q^) ^ ((А — Р) ф(0, (11— Р) пш, (И — Р) QJ.
(3) =>- (2). Пусть Р — ортогональный проектор в с областью значений фЮ1. Тогда ясно, что Р ? яш (St)', и сох, со2 связаны с со так, как утверждается.
Каждое из условий леммы 4.1.19 указывает на определенную независимость функционалов (0i и со2 друг от друга, которую мы будем называть ортогональностью.
Определение 4.1.20. Если положительные линейные функцио" налы соц со2 на 91 удовлетворяют любому из эквивалентных условий леммы 4.1.19, то их называют ортогональными и пишут coi _L со2.
4.1. Общая теория
345
Пусть fi — положительная регулярная мера Бореля на Е%. Если для любого борелевского 5 s Е%
/ j dfi(co')co'\ _L ( j dn (co')co'V
\S j \E$l\s I
to fi называется ортогональной мерой на ?щ. Множество ортогональных вероятностных мер на Ещ^ с барицентром со обозначается (Уа (?щ) или просто Оа.
Теоремой 2.3.19 было установлено, что если два положительных линейных функционала со и сох на 21 связаны условием <ох < со, то существует такой положительный оператор Т ? (21)', что
%(Л) = (ТОа, (A) QJ
при всех А ? 21. Мы получим теперь непрерывный аналог этого результата, который будет нашим первым существенным средством при установлении связи между ортогональными мерами из класса (Уа и абелевыми подалгебрами в (21)'.
Лемма 4.1.21. Если и ? Мм (?щ), то существует единственное линейное отображение
V /6 е M«)'>
удовлетворяющее соотношению
R,. ^ (/) (A) QJ = j dll (со') / (со') со' (А).
Это отображение является положительным и сжимающим.
Если L°° (fi) снабдить a (L°° (fi), L1 (}х))-топологией, (21)' — слабой операторной 'топологией, то отображение fi—Жц (/) непрерывно.
Доказательство. По / ? L°° (н) определим линейный функционал bf на ЭГ, полагая
bf (Л) = | d\i (со') / (со') со' (Л).
Если А > 0, то
I bf МЖЦ/lJ dll (со') со' M)=|I/IL“ (А).
Кроме того, если / > 0, то bf положителен. Тем самым при / >- О теоремой 2.3.19 утверждается существование положительного оператора х,,. (/) ? (Я)',
для которого
bf(A) = (Ош, х,*(/)яш (A) QJ. ||Хц (/) H^ll/L.
Но каждый элемент f ? L°° (н) представим как линейная комбинация четырех положительных элементов из L°° (|х), поэтому х^ (/) получается соответствующей суперпозицией. Оценка ||(/) || ^ || / следует из общей оценки для bf.
346
4. Теория разложения
