Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.1.24. Пусть М2— алгебра 2Х2-матриц в двумерном гильберто. вом пространстве |)2. Выберем три единичных вектора г|)х, г|)2, ф3 так, чтобы каж дая пара векторов была линейно независима. Определим состояния colt со2, со3 на М2 равенствами со; (Л) = (ipг, Лф;) и введем меру (х с барицентром со = = (С0Х + со2 + со3)/3, положив
Сразу же можно убедиться, что |х не ортогональна, но из предложения 4.1.10 следует ее максимальность; сосредоточена ц на множестве чистых состояний & (М2) алгебры М2. Кроме того, (г ? & (Ем )). Действительно, предположив противное, мы должны допустить существование такой меры |xx ? Ма (Ем ))1 что 0 < < 2|х, но это невозможно, в силу аффинной независимости состоя-
ний СО], со2, со3.
После этих предварительных рассмотрений обратимся к проблеме характеризации ортогональных мер в терминах абелевых алгебр и проекторов.
Теорема 4.1.25. Пусть со — состояние С* -алгебры 21 с единицей. Существует взаимно-однозначное соответствие между следующими тремя множествами:
множеством всех ортогональных мер ц ? Ма (?’щ);
множеством всех абелевых подалгебр фон Неймана 33 ^ яш (21)';
множеством всех ортогональных проекторов Р в фш, таких что
= аа,.Рпа(ЩР<=\Рла(%)Ру.
Если fx, S, Р соответствуют друг другу_, то
(1) аз = ко») и р\'\
(2) Р =
(3) fx (ЛИ2 ... Ап) = (йи, яш (Л^ Рла(Аг) Р ... Рпш (Л)„й(0);
(4) алгебра 33 является * -изоморфной образу L°° (fi) при отображении / (j L°° (fi)i—(/) (j ят (21)', которое задается соотношением
(/) (A) Qa) =¦ J dfx (со') / (со') А (со'),
и для А, В ? 91
*и Й) псо (В) йа, = (В) Рпа (Л)
4.1. Общая теория
349
Замечание. В дополнение к четырем соотношениям, указанным в теореме, существует и прямой способ построения ц. по заданной алгебре 93; мы опишем его в лемме 4.1.26. Кроме того, соответствие между 33 и Р остается в силе, даже если & не имеет единицы, потому что единицу всегда можно присоединить.
Доказательство. Предложение 4.1.22 позволяет сопоставить каждой ортогональной мере абелеву подалгебру фон Неймана 33 S ла (St)', а именно
азЧм/); / е ^°°(и) 1-
Если Р = [аЗЙм ] и В=В* ? 33, то ВР = РВР = (РВР)* = РВ, так что 33 S Р'. Далее, если / ? L°° (jx) и А ? St, то
(йм. Хц (/) (-4) fito) = % (М) йм) = Ц (/Л) = (йм, (/) ла (Л) йм).
Поэтому Хц (Л) = Рла (А) ?2Ш; повторно применяя х^ (Лг-) и используя
тот факт, что Хц (А) Р = Рп^ (Л), придем к равенству
Хц (Ai) . . . х^ (Ля) = Рла (Л1) Р . . . Рлы (Ап) ^(о-
Это дает нам
Н (AxA2 ¦ . • Ап) = Хц (Л]Л2 . . . Ап) ?2Ш)
= (?2Ш, Иц (Лх) Хц (Л2) . . . Хц (Ап (?2щ) =
— (^to* (Ai) Рл,^ (Л2) Р . . . РЛ($ (Ап) ?^(о),
т. е. свойства (3) и (4), указанные в теореме, справедливы при надлежащем выборе Р и 33 ^ (St) (J Р}'.
Теперь предположим, что задана абелева подалгебра фон Неймана 33 Е
S яш (St)'. Если 3*1 — конечномерная подалгебра фон Неймана в 33, то она порождается некоторым конечным семейством Ръ Р2, ¦¦¦, Рп взаимно ортогональных проекторов, и с 3*1 можно связать ортогональную меру по правилу, уже
указанному во введении к разделу:
п
X; = (Йш, Pi&a), XjtOj (Л) = (PiQa, ям (A) Qffl),
i=l
Заметим, что вектор ?2Ш, циклический для ям (31), будет отделяющим для яш (91)', согласно предложению 2.5.3, так что Я; > 0. Выкладка, проведенная во введении, показывает, что
Mgj МИг • • • Ат) = (Qm, лш (Л^ Р^ла (Л2) . . . Р^лю (Лт) ?2Ш)
при всех Ai, Л2, ..., Ат ? St, где Р^ — [ЭДЙщ]. Подчеркнем, что в силу этой формулы все Р^лш (Л) коммутируют. Аналогичное свойство операторов Рц$л<о (A) Pfg устанавливается с помощью аппроксимации, опирающейся на второе утверждение следующей леммы.
Лемма 4.1.26. Пусть со — состояние С*-алгебры 91, 33 — абелева подалгебра фон Неймана в ла (91)', а Ш1 и Ш — конечномерные
350
4. Теория разложения
подалгебры фон Неймана в 33. Пусть ц.$де и ц.^ обозначают ассоциированные с Ш и 91 ортогональные меры, введенные, как указано в предыдущем абзаце. Если 91 ^ Ш, то
При упорядочении по включению подалгебры 91 образуют направленное множество, и сеть ^ сходится в а {С (Е%у*, С(Ещ)у топологии к ортогональной мере n.sg, причем
Uig(AiA2 ... Ап) = (Ош, (Лх) Р$па (А2) Р$ . . . /3;дЯш(Лге)Ош)(*) при всех Аъ А2, ..., Ап ? 91; здесь Psg = [33QM].
Доказательство. Алгебры 91 и 5ДО порождаются конечными семействами Ръ
Р2, ..., Рп и Q1( Q2..... Qm взаимно ортогональных проекторов. Если Е 5Ш,
то каждый Pi ? 9i имеет вид
т1
Pi= S Qj-
!=mi_ 1+1
