Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
й = Ц ^-/2ii ® v i=i
Для А — А ® 11 ? ^[п] имеем
[п] [п] [11]
“1 И) = s Е ^/2>7/2(§1 ® л,-. А1, ® т)у) = ? ^(Б?>ЛБ,) = Тг(рЛ) = «в(Л).
1=1 / = 1 / =1
Следовательно, (Oj является продолжением со на ?= Я. Но (Oj — чистое
состояние на поэтому его можно продолжить до чистого состояния на
согласно предложению 2.3.24.
Этот пример отнюдь не из ряда вон выходящий. В доказательстве предложения 2.6.15 было показано, что если С*-алгебра 91 имеет точное неприводимое представление л в гильбертовом пространстве ф со свойством
З’З’ф) п Л(ЗД) = {0},
то векторные в этом представлении состояния плотны в Е^. Следовательно & (?•&) плотно в Е%I- Более общим образом, <$ (Ещ) будет плотно в Етакже ив случае, когда ни в одном из неприводимых представлений л (91) не содержит компактных операторов. Алгебры такого типа называют антилиминалъными. Квазило-кальные алгебры, встречающиеся в математической физике, примером которых служат РГФ-алгебры, всегда антилиминальны.
После этих подготовительных примеров рассмотрим ситуацию, когда подмножества пространства состояний обладают хорошими свойствами измеримости. Предположения, сформулированные в следующем определении, мотивированы по существу структурой локально-нормальных состояний квазилокальной алгебры, обсуждавшихся нами в разделе 2.6. Эти предположения лежат в основе первого подхода к преодолению трудностей, возникающих при разложении состояний и связанных с проблемами измеримости. Второй подход основан на более слабом предположении о сепарабельности пространства представления, ассоциированного с изучаемым состоянием; ему посвящен раздел 4.4.
Определение 4.1.32 Пусть 6 обозначает С*-алгебру с единицей, a F — некоторое подмножество пространства состояний Е^_
358
4. Теория разложения
Будем говорить, что F удовлетворяет условию сепарабельности S, если существует такая последовательность \&п\п^ь состоящая из С*-подалгебр 6, что U n^i&n плотно в 6, каждая содержит замкнутый двусторонний сепарабельный идеал и
F = |®; <в € %> ||(В1з„ || = п^
Простейшее применение это определение находит, когда (5 сепарабельна и = (? при всех п ^ 1. В таком случае пространство состояний E(g метризуемо и борелевская структура на E(g совпадает с бэровской. Мы собираемся изучить эти две структуры для подмножеств F Е удовлетворяющих условию S, но предварительно нам потребуется
Лемма 4.1.33. Пусть 3—замкнутый двусторонний идеал С* -алгебры 91. Если со — состояние на 91, то существует, и притом только одно, состояние 6 на 91, которое является продолжением ю. Если (фа, Яй>, Йй) — циклическое представление 91, ассоциированное с 6, то-Яй (3) сильно плотно в яд (й)".
Доказательство. Можно считать, что St имеет единицу П. Существование продолжения ш для со следует из предложения 2.3.24. Согласно предложению 2.3.11, существует аппроксимативная единица {?а} для Q, такая что
lim со (Е2а) = lim со (Еа) = 1=5 (11). а а
Если А ? St, то
| й (ЕаА - А) | = | S ((Ц — Еа) А |< й ((11 - Еа)2У/2 й (А* А)112 -* О при а—> со. Следовательно,
й (А) = lim й (ЕаА) —- lim со (ЕаА),
а а
и эта формула показывает, что продолжение й единственно.
Теперь, воспользовавшисв предельным свойством {?«}, получаем, что lima яй (?<х) Qoi = йб- Таким образом, Ншалй (Л?к) йа = яа(Л) йб при всех A ? St, поэтому яб (g) йа плотно в §б. Если А ? St и В ? fj, то
лй (АЕа) (в) Йй = яй (л) лй (ЕаА) -+ п& (А) яй (в) Йй
при а—> оо. Отсюда видно, что яа (АЕа) сходится сильно к яй (Л), так что
яй ®)' = яй (St)"-
Теперь мы можем заняться условием сепарабельности S.
Предложение 4.1.34. Пусть С*-алгебра (5 имеет единицу, и пусть F Е Е(? удовлетворяет условию сепарабельности S. При этих предположениях
(1) F является устойчивой гранью Е$;
(2) F — бэровское множество;
4.1. Общая теория
359
(3) крайние точки множества F образуют бэровское подмножество, и существует выпуклая непрерывная функция f на такая что
& (F) = д} (%) П F,
где dj (?ц)— граничное множество, ассоциированное с /;
(4) если со ? F, то гильбертово пространство §й) соответствующего представления сепарабельно.
Доказательство. Сначала докажем свойство (2). Пусть {Лп> k}k>\ — счетное плотное подмножество в единичном шаре множества самосопряженных элементов идеала Q„, п > 1. Состояние со принадлежит F тогда и’только тогда, когда
sup со (Лп> *) = 1, п = 1, 2...
fe> 1
Поэтому
F — П У п, т> гДе VП' т — U Vт. р<
п, 1 р> 1
vn,m,p= ^ | ® W(Ап<р)> 1 —--------------^ j
