Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(Ош, xv (/) лш (А) QJ = v ([А) = Ьч (А) = Хщ (А)
= H(g3) = (QM, (g) ла (A) QM)
при всех А ? Ш. Поэтому xv (/) = х^ (g) (ввиду цикличности), т. е. условие (2) выполнено.
Для доказательства обратной импликации необходимо применить свойства симплициальных мер. Следующая лемма дает достаточно полную характеризацию таких мер, и хотя содержащаяся в ней информация далеко не вся используется в доказательстве предложения 4.2.2, тем не менее она представляет самостоятельный интерес.
Лемма 4.2.3. Пусть со—состояние С*-алгебры 91 с единицей, и пусть (я ? М.л (Ещ) — вероятностная мера с барицентром со. Следующие условия эквивалентны:
(1) II G гг (Мш (%));
(2) отображение f Q L°° (|я)^-х^ (/) Q (91)' точно-,
368
4. Теория разложения
(3) множество аффинных непрерывных функций на плотно в L1 (ц).
Доказательство. (1) => (3). Если условие (3) нарушается, то найдется функция / ? L°° (ц), для которой 0 / sgC 1 и |-1 (/Л) = 0 при всех Л ? 91. В ча-
стности, |-1 (/) = 0. Введем |.i1+^ по формуле
f'l±f (S) = МО ± fig)-
Тогда (Л) = fi (Л) = ш (Л). Поэтому ц1±? ? Ма и
.. _ Puf+Pi-f l-i — 2
т. е. условие (1) нарушается.
(3) =*- (2). Если бы отображение /,—(/) не было точным, то можно было бы указать ненулевую /, для которой оператор х^ (/) равен нулю, а значит,
II (/Л) = (Йш> (/) яш (A) QJ = о
при всех Л ? Ж. Тем самым аффинные функции не были бы плотны в L1 (|х).
(2) =>¦ (1). Если (.1 ф & (?щ))> т0 Iх = (l-li + 1-1а)/2, где ць |х2 — две
несовпадающие меры из Ма Поскольку |хх < 2ц, найдется ненулевая
/ ? L°° (j-i), для которой Ц! (g) = |х ((1 + /) g). Тогда имеем
ю (А) = Щ (Л) = ц (А) + ц (/Л) = ш (Л) + (йш, (/) (Л) Йш).
Вследствие цикличности х^ (/) = 0, так что (2) нарушается.
Конец доказательства предложения 4.2.2. Предположим, что выполнено (2) и (X ? с? Пустьv= — выпуклая комбинация вероятностных
мер V;. Так как ^;v, ^ v, то существуют/; ? bj^v), такие что Xfdvi = fidv. Ясно, что 2 ?=1 /г = 1 • Выберем такие g; g (jx), что хд (gi) = xv (/,), и определим (х,- соотношениями Xidm = g;d|x. Тогда
KiA (b (fij)) = Хцц (Л) = jx (giA) = (Qw, xM (^j) (A) QJ
= (QW *V (/г) (Л) QJ = v (fiA) = A.jvj (Л) = XiA (b (Vi)) •
Значит, b ((.i/) и b (vt), барицентры мер и v*, совпадают. Однако
n > n n i n
Ц fi ) = Ц *v Ui) .= XI ** (Si) ^ *n Ц gi j •
i=l ,/ ? = 1 i = l \ t = l j
Теперь применим лемму 4.2.3; отображение х^ точно, так как |х ? &
Поэтому ^ "=1 = 1 и (х = ^ "=1 Xiiij. С помощью предложения 4.2.1 сразу же
получаем соотношение jx >- v.
Теперь мы подошли к первому из основных результатов этого пункта — к характеризации единственности максимальных мер, имеющих барицентром заданное состояние.
4.2.¦ Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 369
Теорема 4.2.4. Пусть со—состояние С*-алгебры 91 с единицей и Р = [я,„ (91)' ]. Следующие условия эквивалентны'.
(1) существует единственная максимальная вероятностная мера |я с барицентром со;
(2) коммутант яа (91)' абелев;
(3) Рл,Л (91) Р порождает абелеву алгебру фон Неймана.
Если эти условия выполнены, то (д. окажется ортогональной мерой, отвечающей алгебре л 0 (91)'.
Доказательство. Эквивалентность условий (2) и (3) вытекает из соображений, высказанных в пункте 4.1.3. Теоремой 4.1.25 установлено, что, когда яи (31)' абелев, Яяш (91) Р порождает абелеву алгебру, и наоборот. Таким образом, достаточно проверить эквивалентность условий (1) и (2).
(2) =?>• (1). Пусть и — ортогональная мера, соответствующая яи (St)'. Согласно предложению 4.1.22, отображение х^: / ? L00 (|х)|—>х^ (/) € яш (St)' является *-изоморфизмом и
яш(а)' = {хц(/);/€ *•“>)}•
Это отображение автоматически изометрично, поэтому
(ясо (31)')1+ = {хд (/); / € Ч°+И-
где (яш (9t)')1+ обозначает положительную часть единичного шара в ям (St)'. Если v ? Мю (?щ;)> то
Ко?); g€4°+(vM Е(яш(Я)')1+Е /€ Ч+М}-
Но и ? 8 в силу следствия 4.1.23, так что v -< jx, согласно пред-
ложению 4.2.2. Таким образом, |Л— единственная максимальная меравЛ4м (Е
(1) => (2). Если [г — единственная максимальная мера в Ма (?gj)> то |х ? ? 8 (Мю как видно из рассуждений, проведенных после следствия 4.1.23.
Пусть v ? Ow (?g[) и — соответствующая абелева подалгебра фон Неймана в яш (9t)'; тогда
