Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
F — | со; || со || _ 1, Л ? I; }
378
4. Теория разложения
жения позволяют свести проблему к отысканию общей верхней грани для двух мер ц., v ? Ма (Е%) с конечным носителем, причем мера v предполагается субцентральной. Пусть
Ц = S v = ?
(=1 /=1 j
Введем Т,- xv гДе Is обозначает инди-
катор подмножества S s Е^. Ясно, что
X Т; \ I, Z,
1=1 /=1
и, кроме того, при всех Л ? %
--=¦ (7\QM, ла(Л)??а), А,/со/ (А) = (Z/Qa, яи(Л)Йм).
Поскольку Tt и Z; положительны, a Zs (j За, произведения r;Z;-— положительные операторы. Введем теперь Ai;- и сопо формулам
\i} = (Г^ЙИ> QJ, Яг,<о4/.(Л) - (r,Z/Qmi яш(Л)Йш) и рассмотрим меру
р = ? ? Я,г/би .
<=i /=1 11
Имеем
П' П
/ i 01L = ^i/0) ,‘у, /. уО) i —
/=1 1=1
и простое применение свойства выпуклости дает р ц,, р v.
Для доказательства обратного утверждения надо показать, что каждая мера ц, ? Ма(Е<%}, которая мажорируется всякой максимальной мерой из Ма(Е^у будет также мажорироваться центральной мерой . Если со ? F, где грань F удовлетворяет условию сепарабельности’Б, то по теореме 4.2.5 максимальные ортогональные меры из Оа (Еж) максимальны в Ма(Е^у Тем самым
(Х1х (/); / G LT+ (fi)} содержится в каждой максимальной абелевой подалгебре фон Неймана в (21)'. Значит,
Wn(/); / € L?+(v)} e(3b)i+,
где (3a)i+ обозначает положительную часть единичного шара в Зи- Но поскольку
Ш.),+ --{к,811(/);/ег.Г+(|.8в))
и (j,g ? <$ (М[0(?'щ)) (в силу следствия 4.1.23), можно применить предложение 4.2.2 и получить ц .
4.3. Инвариантные состояния
379
4.3. Инвариантные состояния
4.3.1. Эргодические разложения
Изложение теории разложения для состояний мы завершим рассмотрением состояний, инвариантных относительно некоторой группы *-автоморфизов. Объектами нашего изучения в данном разделе будут и С*-алгебра 91 с единицей и группа G, допускающая представление *-автоморфизмами 91. Действие G на 91 будем записывать так:
А ? 9Ь->тв(Л) €
при всех g ? G. Состояние ю на 91 называют G-инвариантным, если
о(Л)= <о(тй(Л)) при всех g ? G и А ? 91. Состояния Eft алгебры 91 образуют выпуклое слабо* компактное подмножество двойственного к 91 пространства 91*, а G-инвариантные состояния, как легко видеть, образуют выпуклое и слабо* замкнутое, а потому компактное подмножество в Eft. Это множество инвариантных состояний обозначим через Е^. Нашей целью будет получить разложение состояния (о ? Eft, выразив его через крайние точки множества Eft. Эти экстремальные G-инвариантные состояния, элементы множества & {Eft), обычно именуют эргодическими состояниями или G-эргоди-ческими состояниями, имея в виду их относительную «чистоту» (неразложимость) среди всех инвариантных состояний. Соответствующее разложение поэтому естественно называть эргодическим разложением состояния со.
Наше изложение будет проведено в три этапа. В данном пункте мы исследуем существование и единственность эргодического разложения. В пункте 4.3.2 и 4.3.3 мы дадим разнообразные характеризации множества эргодических состояний, а в пункте 4.3.4 рассмотрим, как производится разложение G-эргодического состояния по состояниям менее инвариантным, скажем инвариантным лишь относительно некоторой подгруппы Н ? G. В физических приложениях группа G выступает как группа симметрий системы, а а G-инвариантность со отражает наличие этих симметрий, когда система находится в состоянии со. Чистым симметричным фазам системы соответствуют G-эргодические состояния, а разложение по отношению к подгруппе отвечает исследованию нарушенных симметрий. ,
Сначала напомним, что, согласно следствию 2.3.17, в гильбертовом пространстве циклического представления (?ffl, nffl, Qm), построенного по G-инвариантному состоянию со, существует пред-
380
4. Теория разложения
ставлен'ие G унитарными операторами Ua (G). Это представление единственным образом определяется двумя требованиями:
= я*(тв(Л))
при А ? 91, g ? G и
при^ G G. На протяжении этого раздела мы часто будем применять обозначение (§ffl, ям, (JM, Qm) для четверки, состоящей из пространства, двух представлений и циклического вектора.
Полезно также задать действие т* группы G на двойственном пространстве 91*:
(т;<р) = ф (тв-. (Л)) при g ? G, Л f I и ф ^ 91*.
Так определенное т* действительно будет представлением группы:
(Тв.в.ф) И) = ф(т(в1в1)-1 (Л)) = ф (Tg-iTgri (Л)) = (т’1т^ф)(Л).
