Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
4.2.2. Центральные и субцентральные разложения
В этом пункте мы изучаем разложения состояния ш, которые связаны с подалгебрами фон Неймана центра Зм = №" Л
П я(о (51У представления (§ш, яи). Ортогональная мера, соответствующая За. называется обычно центральной мерой, а о мв’ рах, соответствующих подалгебрам фон Неймана алгебры За. мы будем говорить как о субцентральных мерах. Этот класс мер особенно важен для физических приложений, так как элементы (91)" интерпретируются как наблюдаемые для системы в состоянии со, а центр Зи соответствует множеству инвариантов си-
374
4. Теория разложения
етемы. Центральная мера задает распределение вероятностей значений этих инвариантов, и ассоциированное с мерой разложение со выражает со через те состояния, в которых инварианты принимают определенные значения. Отдельные подалгебры в Зш. такие как коммутантная алгебра 3w и алгебра на бесконечности Зш. вве-денные определением 2.6.4, могут иметь особое физическое значение, поэтому и соответствующие субцентральные разложения представляют особый интерес.
Мы начнем с того, что покажем, как можно охарактеризовать субцентральные меры усиленным условием ортогональности. Сперва напомним, что два представления щ и я2 С*-алгебры 91 квазиэквивалентны, если всякое я^-нормальное состояние я2-нор-мально и верно обратное. Дополнительным к понятию квазиэквивалентности является понятие дизъюнктности. Мы будем говорить, что представления ях и я2 дизъюнктны, и писать я* q я2, если ни одно я1-нормальное состояние не будет я2-нормальным и наоборот. Соответственно два положительных линейных функционала сох и со2 на 91 называют дизъюнктными и пишут сох q со2, если дизъюнктны яш, и лйг. Для абелевой С*-алгебры 21 понятия квазиэквивалентности и дизъюнктности сводятся к понятиям эквивалентности и дизъюнктности регулярных мер Бореля.
Немедленным следствием определения является утверждение: тогда и только тогда ях о я2, когда яг и я2 не имеют квазиэкви-валентных подпредставлений, а это в свою очередь эквивалентно отсутствию у Я! и я2 унитарно эквивалентных подпредставлений (теорема 2.4.26). Для наших целей полезной окажется такая характеризация дизъюнктности состояний:
Лемма 4.2.8. Пусть соь со2 — два положительных линейных функционала на С*-алгебре 91 и со = сох + со2. Следующие условия эквивалентны,
(1) щи со2 дизъюнктны,
(2) существует такой проектор Р ? я„ (91)ш П (51)'. что
сох(Л) = (йш, Ряю(Л)йщ), со2(Л) = (Пш, (1 -^)яш(Л)йш).
В частности, из дизъюнктности сох и со2 следует их ортогональность.
Доказательство. (1) =>- (2). Если со' — положительный линейный функционал, такой что со' сог и со' со2, то со' и яш -нормален и яш -нормален. Следовательно, со'= 0. Из леммы 4.1.19 вытекает, что щ _L со2, и можно утверждать, что существует проектор Р ? пю (ft)', для которого
сог (А) = (Йи, Ряи (A) QJ
и т. д. Пусть В ? ящ (St)', § ? Р§ш. Рассмотрим положительный функционал со', заданный формулой
со' (А) = ((И - Р) въ, ЯШ (А) (И - Р) В1).
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 375
Он, очевидно, лщ -нормален, а так как
ы'(А)^\\а-р)вга, пш(А)Ъ)
при А >• 0, то он также и лш -нормален. Тогда со' = 0, и поэтому (И — Р) ВР = = 0 при всех В ? лш (St)'. Тем самым Р ? яи) (8Т)", т. е. Р ? яш (St)" П ^„(St)'.
(2) =>¦ (1). Если выполнено (2), то не существует частично изометрических операторов V в ф0), содержащихся в яш ($)', для которых (И — Р) UP = U. Но это равносильно отсутствию унитарно эквивалентных подпредставлений У V и V> так чт0 “1 О “2-
Другую характеризацию субцентральных мер дает
Предложение 4.2.9. Пусть со — состояние С*-алгебры 91 с единицей, и пусть jx ? М,л(Е<%у Следующие условия эквивалентны'.
(1) для всякого борелевского множества S s
(2) мера jx субцентральна, т. е. она ортогональна и соответствующая ей абелева подалгебра хд (L°° (jx)) в (91)' содержится в центре яа (91)" П (Я)' представления ям (91).
Доказательство. (1) =>¦ (2). Ортогональность ц и свойство х^ переводить проекторы из L°° (|х) в центральные проекторы вытекают из леммы 4.2.8. Так как — это *-изоморфизм, согласно предложению 4.1.22, то (L°° ([х)) содержится в центре алгебры лш (St).
(2) =>¦ (1). Если S — борелевское множество, то хц (%s) и хй будут
взаимно ортогональными проекторами в центре алгебры ли (St)", дающими в сумме 11, поэтому имеем
/ j d|x(co')co'\ ^ ( j ^(со')соЛ U J [еш\з j
приняв во внимание равенство
j d\i (со') со' (А) = (Qa, хд (xs ) (А) Йм)
s
и лемму 4.2.8.
Из теоремы 4.1.28 следует, что центральная мера |яд —это наименьшая из мер в Ми(/%), которая больше любой субцен-тральной меры. Кроме того, согласно лемме 4.1.26, jxg является
слабым* пределом монотонной сети субцентральных мер с конечным носителем. Позже будет показано, что при надлежащих предположениях о сепарабельности мера jxg оказывается наибольшей
