Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
из мер, которые меньше, чем любая максимальная мера с барицентром со. Сначала, однако, мы получим тот естественный результат,
376
4. Теория разложения
что [ig псевдососредоточена на множестве факторных состояний F%, а при наложении некоторых требований сепарабельности даже будет сосредоточена на F%.
Теорема 4.2.10. Пусть со — состояние С*-алгебры 91 с единицей и \ig — ассоциированная с ним центральная мера. Тогда псевдососредоточена на множестве факторных состояний 91. Если вдобавок известно, что со содержите я в некоторой грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности S, то [ig сосредоточена на таком подмножестве G s Е%, которое
(1) является Fa-подмножеством в Ещ^\
(2) содержится в F<^ [\ F.
Доказательство. Будем следовать схеме доказательства теоремы 4.2.5. Можно считать представление пш точным и рассматривать St как С*-подалгебру С*-алгебры порожденной яа (Щ) и пш (ЗС)'. Коммутантом @ будет @' = = Зш = яш (St)" П яш (St)'. Пусть м обозначает продолжение со на заданное формулой
а (С) = (Аш, САШ), С <Е @, и пусть jl — элемент из (Уй отвечающий Зш = Зв>- Если г: -Eg—»-
обозначает отображение сужения, то но = со и fi = йог-1. Последнее равенство следует из соотношения
[A (С1С2 ... Сп) ~ (QtO) CiPC2P ... PCnQ(ji),
где Р = = [Зайй].
Далее, мера fi максимальна в (-Eg;) по теореме 4.2.4, и с помощью теоремы 4.1.11 мы заключаем, что jl псевдососредоточена на чистых состояниях
алгебры Затем, согласно предложению 4.1.37, имеем г (<§ и-
следовательно, ц псевдососредоточена на F^ по лемме 4.1.36.
Теперь рассмотрим второе утверждение теоремы. Пусть {%n}nS,i — последовательность С*-подалгебр в St, такая что St = U г№п, и пусть ©« — сепарабельные идеалы в Ш.п со свойством
F = \ср; ф 6 %, || Ф |фп || = 1 - п > 1 |.
Если со ? F, то §и сепарабельно, в силу предложения 4.1.34, а рассуждения,
проведенные при доказательстве теоремы 4.2.5, показывают, что найдется сепарабельная С*-подалгебра 330 — я(0 (31)', которая слабо плотна в яга (St)'. Переопределим @ как С*-алгебру, порожденную 350 и яи (St), и воспроизведем доказательство теоремы 4.2.5. Мы получим /га-множество U EFgj, для которого
(г (U) = 1. Поскольку грань F устойчива, fi (F) = 1, поэтому (г (F Л U) = 1. Вследствие регулярности меры Бореля ц существует такое /^с-подмножество G Е F Л U S F П F^, что ц (G) = 1.
Замечание. В простейшем случае, подпадающем под условия теоремы 4.2.10,—случае сепарабельной 91 — можно доказать,
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 377
что множество факторных состояний F<% образует борелевское подмножество в Еа (см. замечания и комментарии в конце главы).
Пример 4.2.1). В качестве применения предыдущей теоремы рассмотрим локально-нормальные состояния квазилокальной алгебры, которую построим следующим образом. Пусть / — счетное семейство индексов, а /[ — направленное множество конечных подмножеств в I, упорядоченное по включению. Каждому а ? / сопоставим сепарабельное гильбертово пространство фа, а каждому
Л ? If — тензорное произведение $?Л = ® фа и положим 91Л = S’ (§л).
а ? л
Если С*-алгебра 31 порождается объединением всех 9СЛ, то Щ квазилокальна в смысле определения 2.6.3. Состояние со на 91 локально-нормально в смысле определения 2.6.6 тогда и только тогда, когда со ? F, где
(ср. с примером 4.1.35, (5)). Теперь рассмотрим алгебру на бесконечности
Согласно теореме 2.6.10, 3^ = поэтому центральное разложение совпадает с разложением на бесконечности, и наоборот. Кроме того, теоремы 2.6.10 и 4.2.10 позволяют заключить, что соответствующая мера сосредоточена на
некотором /^-подмножестве, состоящем из тех локально-нормальных состояний, для которых алгебра на бесконечности тривиальна.
В заключение раздела выведем геометрическую характеризацию центральных мер, упоминавшуюся перед теоремой 4.2.10.
Теорема 4.2.12. Пусть со — состояние С*-алгебры 91 с единицей. Всякая субцентральная мера v ? Оы (?щ) мажорируется любой из максимальных мер (я ? (?щ).
В обратную сторону, если со ? F, где грань F s Е^ удовлетворяет условию сепарабельности S, то центральная мера fig будет
наибольшей мерой в Мв (?щ), которая мажорируется всеми максимальными мерами из Мы (i%).
Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточно показать, что субцентральная мера v ? От (?gj;) и произвольная мера (х ? Мя (?щ) имеют общую верхнюю грань р ? 6 Л1м(?щ). Вследствие максимальности (х имеем р = (х и jx v. Меру v можно аппроксимировать в слабой* топологии субцен-тральными мерами va с конечным носителем (согласно лемме 4.1.26), а ц. можно аппроксимировать мерами (ха с конечным носителем. Таким образом, достаточно построить сеть ра ? Мш (?щ) со свойствами va pa, (xa pa, ибо для всякой слабо* предельной точки р этой сети будет v <( р и |х р. Приведенные сообра-
