Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.3.5. Пусть х ? RV(—М 6 & (?>) —слабо (сильно) непрерывное унитарное представление группы трансляций в гильбертовом пространстве ф, и пусть Е обозначает ортогональный проектор на подпространство ф, состо-
4.3. Инвариантные состояния
385
ящее из векторов, инвариантных относительно всех U (х). Пусть еще имеется сеть Ла борелевских подмножеств Rv со свойством
[ ЛдА (Ад + У) |
'¦m I л I
а 1Л<*1
= 0
при всех и ? Rv, где I ЛI обозначает лебегову меру множества Л и ЛДВ = (A U В) \ (А П В). Тогда
lim
(тег 1*
dxU (х) — Е | -ф
0, гр 6 Ф-
Для проверки этого сначала заметим, что результат тривиален, если "ф ? Е Еф. Затем возьмем г|) ? (Еф)1 и по у ? Rv введем "ф,, — (И — U (у)) "ф. В таком случае
j~ J dxU (х) - ?1 if у
Гл^Т J dxU (х) *
лал (ла+^)
| 'Ф II I (Л<х + у) |
и отсюда опять следует нужный результат. Наконец, если вектор ф ортогонален множеству
® = 1^; * е (еф)1-! у е куЬ
то (И — U (у)) ф ? Еф при всех у ? Rv. Но Е (И — U (у)) ф = 0, так что (И — U (у)) ф = 0. Тем самым ф ? Еф и З)1 = Еф. Следовательно, нами установлено существование предела на подмножестве, линейная оболочка которого плотна в §, так что предел существует при всех г)> ? ф.
При построении теории эргодических разложений решающую роль играют условия, связанные с асимптотической коммутативностью пар элементов С*-алгебры 51, когда один из элементов сдвигается под действием т группы автоморфизмов G. Эти условия обычно выступают под общим названием асимптотической абелевости.
Такие условия мы будем рассматривать в форме
inf | ш ([Л', В]) | = 0 А' ?со (тс (Л))
для каждой пары А, В ? 1 и некоторого подкласса состояний со. Здесь мы обозначаем через Со (тс (Л)) выпуклую оболочку множества ха (Л) = |rg (Л); g ? G|. Термин «асимптотическая абелевость» объясняется тем, что в конкретных приложениях, когда G наделена топологической структурой, сформулированное условие обычно удовлетворяется при выборе Л' = тg (Л) и последующем движении g, выводящем g из любого компактного подмножества G. Мы продемонстрируем, как, уточняя это условие, можно будет охарактеризовать единственность эргодического разложения, субцентральность таких разложений и эргодические свойства
386
4. Теория разложения
множества экстремальных состояний Ж Подчеркнем, что
получаемые при этом критерии особенно полезны, так как условия асимптотической абелевости часто выполняются в сильной и легко проверяемой форме, такой, как коммутативность в смысле нормы
inf || [тй(Л), В] |[ = 0.
о
Мы начнем с того, что сразу же аккуратно введем две формы условия асимптотической абелевости, которые будут применяться.
Определение 4.3.6. Пусть С*-алгебра 21 имеет единицу, и пусть у группы G есть представление *-автоморфизмами 91, g ? ? G н-> xg ? Aut (21). Для каждого А ? 21 обозначим через Со (tff (А)) выпуклую оболочку множества {rg (A); g (j G] =
= ха (А). Предположим еще, что со— некоторое G-инвариантное
состояние на 21.
Пару (21, со) назовем G-абелевой, если
inf | со' ([А', В]) | = 0
Л'd Со (Тс (Л))
для всех А, В (z 21 и всех G-инвариантных векторных состояний со' в представлении яя.
Пару (21, со) назовем G-центральной, если
inf К ([Л', В})\ = 0
Л' С Со (ТС (Л))
для всех Л, В ? 21 и всех состояний со", для которых найдутся такое X > 0 и такое G-инвариантное векторное в представлении ят состояние со', что со" <Хсо'.
Отметим, что если 21 абелева, то оба эти условия выполняются для любой группы автоморфизмов G. Далее, если Я — подгруппа в G и пара (21, со) является Я-абелевой или Я-центральной, то она автоматически будет С-'абелевой или G-центральной.
Наша цель — показать, что пара (21, со) является G-абелевой тогда и только тогда, когда каждое из некоторого достаточно большого числа G-инвариантных состояний со' служит барицентром меры |х, единственной максимальной среди мер с таким барицентром, удовлетворяющих условию
И (т8- ifi) h) = И- (/1/2), h, /2 <Е С (%).
Вслед за этим мы покажем, что G-центральность характеризует ситуацию, в которой соответствующая мера jo, субцентральна.
Предложение 4.3.7. Пусть С*-алгебра 21 имеет единицу, пусть группа G допускает представление g ? G та ? Aut (21), и пусть
4.3. Инвариантные состояния
387
существует G-инвариантное состояние со на ЗД. Обозначим через Еы ортогональный проектор в на подпространство, образованное векторами, инвариантными относительно ?/и (G), и рассмотрим следующие условия:
(1) пара (91, со) является G-абелевой; •
