Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Обратное включение, однако, очевидно, так какЗИ' П Uш, (G)' с 5ГО°. Таким образом, (2) выполнено.
396
4. Теория разложения
Теперь мы подошли ко второму главному результату теории эргодических разложений.
Теорема 4.3.14. Пусть g ? G ? Aut’(G) — представление группы G *-автоморфизмами С*-алгебры 91. Пусть существует G-инвариантное состояние со на 91, ы пусть Еа обозначает ортогональный проектор на подпространство в образованное векторами, инвариантными относительно Ua (G). Пусть еще Na обозначает множество всех п^-нормальных G-инвариантных состояний на 91. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (91, со) является G-центральной;
(2) каждое со' ? N% служит барицентром единственной максимальной меры р' ? Ма> {Ещ), и эта мера субцентральна;
(3) {яш> (91) U и a- (G)l' = 3(0- П U a' (G)' при всех ' со? №а, где Зш' — центр алгебры я№' (91)";
(4) семейство (91) fa-} абелево, и
{Яш' (91) U Ua- (G)}" П К-(91) U Ua'{G)}' = 3»' П U„.(G)'
при всех со' ? №а.
Доказательство. Прежде всего рассмотрим условия (2) и (3). Если (2) имеет место, то |i' — ортогональная мера, соответствующая |ям, (5t) (J Ua,(G)y согласно предложению 4.3.3, а по определению субцентральной меры
К' (ти^у(Щ'^8а’ пи „.(в)'.
Поскольку противоположное включение тривиально, условие (3) выполняется. Обратно, если (3) верно, то алгебра |яи, (St) |J Ua, (G)j' абелева, так что условие (2) следует из предложения 4.3.3.
Следующим шагом будет доказательство импликации (1) =>¦ (3), но для этого нужна
Лемма 4.3.15. Пусть абелева алгебра фон Неймана Ш в гильбертовом пространстве § имеет циклический вектор ?2. Тогда Ш — максимальная абелева алгебра, т. е. ЗЛ' = ЗЛ.
Доказательство. Так как'5Ш cz: 5tR', то вектор Q — отделяющий для 501, в силу предложения 2.5.3. Если Д и J — модулярный оператор и модулярная инволюция, ассоциированные с (9Jt, ?2), то Д = 1! и J = S, потому что || S/Ш ||2 = = ||Л*Й||2 = || ^4Й ||2.
Но в таком случае JAJBQ= JAB*Q — BA*Q = A*BQ. Следовательно, JAJ = А*. Поскольку J'SRJ = 5Щ' по теореме 2.5.14, то = 5Щ.* = SOI'.
Конец доказательства теоремы 4.3.14. (1) =>- (3). Согласно теореме 4.3.9, условие (1) влечет абелевость (St) ?Ш'}- Кроме того, если 5Ш = |яш,(Щ)и
и Ua. (G)}', то
Далее, Еа. ? Ua, (G)" с= Ш по эргодической теореме. Но-Я^Ящ, (Щ) Еа, имеет в Еш,!0а, циклический вектор Йщ/, поэтому, последовательно применяя леммы
4.3.15 и 4.3.13, получаем
?(0'Я<0' («)' = (Еа'ШЕа,)" Еа, = Еа.Ш'Е^..
4.3. Инвариантные состояния
397
В таком случае
{«СО- («)' П Ua.(G)' 1 Еы, = (81)" П иш. (°)'1 ^<0- - {Всо- п Ua. (G)'l ЕЬ1,-
второе равенство следует из условия (2) предложения 4.3.12. Наконец, Еш,$ы, циклично для я(0, (81)", а потому
«со- №'п (V (G)'= Зсо' П иа-(G)'.
(3) => (4). Так как центр Зм' абелев, то автоматически абелевым будет |я(0, (Щ U (G)}', поэтому, по теореме 4.3.9, абелево'Е^я^, (31) Еа,. Положив опять
юг {яш, (?т) и иы. (О)}-,
получаем
Зш. П Ua, (Gy с= W п Ш' с= шг = зш. Л иа, (О)';
два первых включения здесь тривиальны, а третье следует из условия (3).
(4) =>- (3). Вновь заметим, что Еы,па, (31)" Еа, = Еа,УЯЕа, и Еи, ? € Ua, (G)" ^ Ш, где 331 (яи, (31 ) U иш- (G)}"- Поскольку ?а,ям, (21)" ?(0, абелево, те же рассуждения, которые доказывают импликацию (1) =>¦ (3), дают Еа,ШЕа, = Ес0/ЗЛ Е(0,. Далее, применив второе утверждение леммы 4.3.13, получим
?ш,ЗГ?и,=?т, (ШПШ')Еьу.
Поэтому условие (4) приводит к равенству
К' (Я) U иа. (G)}' ЕЬУ =, |8И, П ио, (G)'} ?а„
Наконец, ЕоУфа, циклично для я (81)'', так что (3) выполняется.
(3) => (1). В силу предложения 4.3.12 достаточно доказать, что
1ясо' П исй, (G)'} Fia. =, j3co- П иа. (G)’}Fa,.
Для этого рассмотрим отображение ассоциированное с ортогональной мерой р., отвечающей |ям, (31) (J UbV (G)}', и отображение М, построенное в предложении 4.3.8. Для А ? Ж имеем
М(А)Еа.=-.Еа.па,(А)Е„.=^(А)Еа..
Образ отображения содержится в {ят, (W) (J Uа, (G)j', а последнее множество входит в Зш> по условию (3). Поэтому, умножив последнее соотношение на я(0,(ЭС)', находим, что
М (A) Fa. = (Л) Fa. с= (Зсо- Г) Ua, (G)'} Fa..
Учитывая, что образ яш, (31)" при отображении М совпадает с |ясо, (8Г)" П Г) (G)’} ^со'> приходим к соотношению
{За,' п u№, (G)'} Foy <= |яш. (8tr П uw. (G)'| Fw,
!= {Зю' П иш, (G)'j Fco'.
и этим завершается доказательство.
Как это было и со свойством G-абелевости, свойство G-центральности в действительности равносильно некоторому на первый взгляд значительно более сильному коммутационному свойству.
398
4. Теория разложения
Следствие 4.3.16. Примем предположения теоремы 4.3.14. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (51, со) является G-центральной;
