Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
а) Р= Pi; б) /> = />х + Р2=
Если выполняется а), то Р, f я (St)". Поэтому для всякой частичной изометрии U ? я (St)' будет ирг = PrU. Значит, ях и я2 не имеют унитарно эквивалентных подпредставлений, и, стало быть, они дизъюнктны в соответствии с замечаниями, сделанными перед леммой 4;2.8. Если со = (сох + со2)/2, то (А) = я (А) Е и РХЕ совпадает с некоторым нетривиальным проектором в Зщ-Следовательно, со не может быть центрально-эргодическим.
Если выполняется б), то я (St)' Рг^> плотно в §, и с помощью полярного разложения мы получаем, что для всякого ненулевого проектора из я2 (81)' существует такой ненулевой частично изометрический оператор U ? я (Й)', что UU* ^ Q0> U*U ^ Рх. Тем самым Q0n2 содержит подпредставление, которое унитарно эквивалентно некоторому подпредставлению представления п1. Меняя ролями Jtj и зт2, убеждаемся, что всякое подпредставление представления л1 содержит представление, унитарно эквивалентное некоторому подпредставлению представления я2; значит, л1 и я2 квазиэквивалентны, по теореме 2.4.26. В таком случае Qa = СР = СИ^, и со = (сох + со2)/2 оказывается центрально-
эргодическим по тем же соображениям, что и в случае а).
Теперь докажем эквивалентность фигурирующих в теореме условий (1) и (2).
(1) => (2). Пусть сох и со2 — два недизъюнктных центрально-эргодических
состояния в Ещ. Тогда сох и со2 квазиэквивалентны, а (сох + со2)/2 центрально-эргодично, согласно первой части теоремы. Но в этом случае (% + со2)/2 ?
6 & C^St) п0 условию (1), поэтому сох = со2 = (coj + со2)/2.
(2) =>• (1). Пусть со — цеутрально-эргодическое состояние, и пусть colt со2 ?
6 Ещ таковы, что со = (сох + со2)/2. Поскольку со j ^ 2со, по теореме 2.3.19 должны найтись такие векторы ?2; 6 ®>ш> что
сог(Л) = (йг, яю(Л)О0, А ? St.
Значит, яшг унитарно эквивалентно подпредставлению представления пы, определенному проектором Pi = [яш (St) Qi] ? яю (St)'. Но тогда 3ш; = PiQa
по лемме 4.3.13, и потому Зш - = = С/5,-. Следовательно, С0[ и со2 цен-
трально-эргодичны, а так как и со = (сох + со2)/2 — центрально-эргодическое состояние, то, согласно первой части теоремы, % и со2 квазиэквивалентны. Но тогда сох = со2 по условию (2), так что со — крайняя точка в т. е.
со — эргодическое состояние.
Последнее утверждени е теоремы следует из импликации (4) =>• (2) теоремы 4.3.17 в сочетании с импликацией (1) =>• (2) настоящей теоремы.
4.3. Инвариантные состояния
403
Возвратимся теперь к изучению критериев эргодичности. Следующий результат показывает, что условия G-абелевости и G-цен-тральности в теореме 4.3.17 можно до некоторой степени заменить требованием, чтобы вектор Ям был отделяющим.
Теорема 4.3.20. Примем обозначения теоремы 4.3.17 и рассмотрим следующие условия:
(1) К (91)" П и» (G)'} = {С10|;
(2) проектор Е,„ одномерен-,
(3) ш ? <§ (?щ), т. е. состояние со является G-эргодическим;
(4) |лм (91) U (G)} неприводимо в §;о.
Имеют место импликации (1) => (2) => (3) -фф- (4).
Кроме того, из (1) следует, что вектор Яа — отделяющий для
(91)". Обратно, если Ям — отделяющий вектор для (91)", то все четыре условия эквивалентны.
Доказательство. Сначала предположим, что выполняется (1), и введем Ра — = [яю (Я)' Ош]. Ясно, что
(Я)' П Ua (G)'}.
Тем самым Ра — 11 ш по предположению. Следовательно, вектор — циклический для зтш (21)' и отделяющий для ям (Щ", согласно предложению 2.5.3.
(1) =*» (2). Предложением 4.3.8 гарантируется существование единственной нормальной G-инвариантной проекции М: яш (21)"—>- я(й (21)" П (G)' со свойством М (/4) Еа — Е(0АЕШ. Тем самым, если М (яш (Ш)") = С1Ш, то имеет ранг 1.
Импликации (2) =*» (3) <?=>- (4) следуют из теоремы 4.3.17.
Наконец, предположим, что вектор — отделяющий для ям (21)", и пусть A, J — модулярный оператор и модулярная инволюция, ассоциированные с парой (я(0 (21)'', Qm). Поскольку
/А|/2Уш (g) AQa = STg (A) Qc0 = xg(A*) = Ua (g) JAl/2A?2a
при A ? я„ (21)", а я(0 (2Т)" образует существенную'область определения для Д1/2, то /Д1/2?/ю (g) = Um (g) JД,/2. Вследствие единственности полярного разложения имеем JUa (g) = Ua (g) J. Ho ям (2f)" = Jna (Я)'/, так что
{яи (21)" П Ua (G)'} = J {яш (2t)' П Ua (G)'} J.
Таким образом, (4) =>¦ (1).
Теорема 4.3.20 является аналогом теоремы 4.3.17, однако в ней опущено условие центральной эргодичности Зт П Ua (Q' — == СИЯ и введено другое условие (91)" П U<a (G)' = СИШ. Мы уже, однако, отмечали в примере 4.3.18, что из центральной эргодичности не следует эргодичность со, даже если вектор — отделяющий для ля (91)". Следующий пример дополняет картину, демонстрируя, что эргодичность со не обязана повлечь свойство
(91)" П (G)'} = {СИ<л} даже при условии G-центральности (91, со).
Пример 4.3.21. Пусть Щ. = 2? (ф), причем размерность § выше единицы, и пусть U — унитарный оператор с простым собственным значением единица,
