Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
/ yv\ zv
показать, что ) плотно в . Для доказательства обозначим через
Лl куб
Al = {х; х = {xv х2, ч), | jcv К L}
и заметим, что для со ? сужение со на определяется матрицей плотности рЛ^:
®('l)=Tr«>AL(PA^)-
Далее, если А ? то
со (А) = Tr|)AL (P\LJX (^))
при всех х ? Zv, для которых Л*, + х С Л/ . Теперь мы построим некоторую периодическую аппроксимацию <В? состояния <в, применив следующую процедуру. Пусть (Л?}п>| обозначает последовательность попарно непересека-ющихся множеств, полученных сдвигами Л^, объединение которых равно Zv. Для каждого конечного Л С Zv найдется такое конечное множество /д положительных целых чисел, что
4.3. Инвариантные состояния
413
и мы введем функционал coL на 3tL> полагая
»L(A) = Tr (( ® Р.,,4) Л
п€7л al)
^матрицы р^п — это матрицы плотности, определенные по coj. Тем самым coL
задается на объединении всех Яд, и по непрерывности можно продолжить этот функционал до состояния на 8Г. Далее, введем 2"^-инвариантное состояние &L, полагая
со l(A)= |Al|“1 J] col(t^)), x€aL
где | Af, I = (2L + l)v—это число точек целочисленной решетки Zv, содержащихся в Л;. Легко получить, что для А ? Э1д
| со (А) — 5>ь {А) | ^ ] Al |_1 J] j (xv (Л)) _ os (Л) I
Х?АЬ
<2||A|||Al|-i J] 1 — 0.
x?AL L~>co x+A<flAL
так что сеть й^ сходится к со в слабой* топологии. Покажем еще, что &L ? ? & Для этого сначала заметим, что Ш асимптотически абелева в силь-
ном смысле:
lira || [А, тх (?)] [| = 0.
| X \ —> со
Это свойство легко усмотреть для А, В ? Щд, а для произвольных А, В оно верно по непрерывности. В силу теоремы 4.3.17, й^ ? $ тогда и только
тогда, когда со удовлетворяет условию кластерности (2) из теоремы 4.3.22. Но если А, В ? Йл и
В'= |Al,|-! ? М5)>
то
Игл йу (АВ') = lim | Аь |-11 Al, |-1 ? C0L (т (А) т (В))
L ^оо L ->оо Х?АЬ
Ль'
= | Г1 ? coL (тг (Л)) wL(B) =wL(X) &L(B). x<1Al
Для любых А и В кластерное свойство получается теперь по непрерывности; поэтому 5>ь ? <&
Наконец, учитывая асимптотическую абелевость, с помощью следствия
7 V
4.3.11 заключаем, что —симплекс.
414
4. Теория разложения
4.3.3. Локально-компактные абелевы группы
В этом пункте мы продолжим изучение G-инвариантных и G-эргодических состояний со на С*-алгебре 91, сделав некоторые предположения о группе G и ее действии т. Во-первых, мы предположим, что G — локально-компактная абелева группа, а во-вторых, что ее унитарное представление (G), порожденное о), сильно непрерывно. Второе предположение выполняется автоматически, если действие т на 91 сильно или, что равносильно, слабо непрерывно. Будем пользоваться обозначениями, уже применявшимися ранее в пунктах 2.7.1 и 3.2.3. В частности, G обозначает двойственную группу, или группу характеров G, a dPa — проек-торнозначную меру, ассоциированную с (G) по теореме СНАГ, так что спектральное разложение Ua (G) имеет вид
= } dPa(y) (у, t). а
Целью данного пункта является изучение спектра cr (иф) группы Ua (G) и спектра а (х) группы автоморфизмов т алгебры яш (91)", полученной каноническим расширением:
xt(A) = Ua(l)AUa(t)*
для А ? яш (91)". Вслед за этим рассматриваются спектры группы х, действующей на яш (91)". Формальное определение этих спектров дано в определении 3.2.37; подчеркнем, что a (Ua) в точности совпадает с носителем Ра. Отметим, что если / ? L1 (G) и xf (А), (/) обозначают регуляризованные операторы
xf(A) = j dtf (t) xt (Л), Ua (/) = J dtf (t) Un (t),
TO
Ua(f)AQa=xf(A)Qw
при всех A ? я(0 (91)". Но если supp f [} о (х) = 0, то xf (А) = О при всех А ? (91)", а вследствие цикличности обязательно
U<л (/) = 0- Это показывает, что cr (Ua) Е о (t), но обратного включения вч общем случае нет, как нетрудно убедиться, взяв G = R и выбрав иа так, чтобы о (Ua) ^ [0, оо). Тем не менее мы познакомимся и с ситуациями, когда оба спектра совпадают.
Интерес представляют также точечные спектры ар (Ua) группы Ua (G) и ар (т) группы т. Точечный спектр для Ua (G) определяется непосредственно:
М^«) = \Ч> У € ? Л»(М)=^°Ь
4.3. Инвариантные состояния
415
т. е. у ? стр (Ua) тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой собственный вектор \|)v ? для которого
(t) г|\ = (у, () г|\
при всех t ? G. Аналогично точечный спектр стр (т) определяется как множество характеров у, для которых ({у}) Ф 0, т. е. для которых можно найти ненулевые Av ? ЭЛ н яя (?!)", удовлетворяющие уравнению
