Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
= (Ош, А*Ра [у] ЛРШ [0]Д* BQJ вследствие условия (4) предложения 4.3.30 (в аддитивных обозначениях 0 служит единицей группы G). Но в предыдущем абзаце было отмечено, что ранг Р(о [0] — единица, a ?3m ? Рш [0] фш. Тем самым
II ВРа [у] A|р = || |р ||РИ [у] |р < || А |р || BQa |р.
426
4. Теория разложения
Следовательно, можно задать ограниченный оператор Ау соотношением
“ ВРй [7] v4Qw
с последующим продолжением по непрерывности. Очевидно, || j4v || ^ || А ||, и легко подсчитать, что тДЛм) = (7, t) Ау. Кроме того, Ау ? пю (SI)', поскольку при В, С 6 лм (ЗТ)"
CAyBQa = СВРШ [7] ЛОш = АуСВ?2ш.
Далее, АуАу ? яш (ЗТ)’ П (G)\ поэтому при условии G-эргодичности со он будет ненулевым кратным единицы: ЛуЛу = Х,1!а. Унитарный элемент Ку ? ? ям (St)', входящий в полярное разложение оператора Ау, будет тогда собственным для т, и доказательство утверждения (2) и свойства сГр (?/в) быть подгруппой вполне аналогично доказательству таких свойств в теореме 4.3.27. Теперь
заметим, что Рмям (St)" Ра абелево и PaQa = Таким образом, коммутант
{яш (ST) П РаУ абелев в силу общего результата о соответствии для ортогональных мер (теоремы 4.1.25). Но верно также и равенство [{V^; V (Е
€ стр (.Uа))" Пш] = Ра, так что по той же теореме
{Vy\ V € (ТР ((/и)}" = {пи (И)иЛоГ-Доказательство соотношений
{Vy, 7 € (Jp (Ua)Y с= яш (Я)' П (Я J' = яш (St)' П (На)'
совпадает с рассуждениями в доказательстве утверждения (4) теоремы 4.3.27;
надо лишь поменять ролями яш (St)'' и яи (St)'. Наконец, Ра — Еа (Нш) влечет равенство всех четырех множеств, а при их совпадении
Рш = [Ко (St) и Ршу Пш] = [Ко т и Еа (HJYQJ = Еа (tfj, в силу соответствия, установленного в теореме 4.1.25. Тот факт, что равенство
А
Рш — Еш (ffj обеспечивается замкнутостью и счетностью <Тр(?/ш), доказывается в точности так же, как в теореме 4.3.27.
(4) Если Ра = Иш, то из условия (3) предложения 4.3.30 в сочетании с леммой 4.3.15 следует, что яга (Щ)" — максимальная абелева алгебра.
Следствие 4.3.32. Пусть со ? 8 (?щ), где G — локально-компактная абелева группа, а 91 имеет единицу. Предположим, что точечный спектр 0р (Ua)-группы Ua (G) образует счетную замкну-
А
тую подгруппу в G, и пусть Яа обозначает ее аннулятор. Следующие условия эквивалентны:
(1) G-r-абелевость пары (91, со);
(2) На-абелевость пары (91, (о);
(3) существование единственной максимальной меры |х' ?
? ММ' для каждого На-инвариантного ^^-нормального состояния со'. ¦
• При добавочном предположении о цикличности стр (Ua) эти условия выполняются.
Доказательство. Из третьего утверждения теоремы 4.3.31 следует, что
4.3. Инвариантные состояния
427
но Ог-абелевость (51, со) имеет место тогда и только тогда, когда вторая алгебра в этой цепочке абелева (предложение 4.3.30), а Яш-абелевость равносильна абелевости третьей алгебры. Таким образом, (1) <=>(2). Эквивалентность (2)<=>. (3) следует из теоремы 4.3.9, примененной к На. Наконец, цикличность стр (Ua) и единственность Vy гарантируют, что {Vy; 7 ? crp (t/a)}" — абелева алгебра, так что выполнены все три условия.
Заметим мимоходом, что последнее утверждение следствия неверно в случае произвольного ар (t/J.
После проведенного обсуждения точечного спектра мы займемся анализом полного спектра, предположив кластерность со — более сильное условие, чем эргодичность. Отметим, что, вообще говоря, нельзя ожидать, что спектры о (Ua) и а (т) будут совпадать, как нельзя ожидать и симметричности о (Ua), поскольку уже при G = R существует много контрпримеров. Тем не менее возможна аддитивность a (UJ.
Теорема 4.33.3. Пусть со ? Е<%, где G — локально-компактная абелева группа, и предположим, что соответствующее унитарное представление Ua (G) группы G сильно непрерывно. Далее предположим, что
inf | со (ВА'С) — со (А) со (ВС) | = О
Л'? Сот0(Л)
при всех А, В, С ? 91. Тогда спектр о (Ua) аддитивен.
Доказательство. Доказательство ничем не отличается от доказательства аддитивности, проведенного в теореме 4.3.27, (3). Для 7Х, i>2 € а (Ua) образуем такие регуляризованные элементы (Лх), т/2 (Л2), спектры которых лежат соответственно в окрестностях точек 7Х, у2 и Для которых т/. (Ai) Qffl ф О, ? = 1, 2. Затем с помощью кластерного свойства доказываем, что хt (xfl (Лх)) t/2 (^2)Qm — ненулевой вектор в при некотором t ? G, а спектр этого элемента лежит в окрестности точки Yj у2.
Замечание. Если в теореме 4.3.33 группа G устроена как произведение двух подгрупп Gj и С2, то свойство аддитивности спектров иы |о, и Um |о2 вытекает уже из трехэлементного кластерного свойства для одной G2. Интересно также, что это кластерное свойство обеспечивает аддитивность спектра U^g,, даже если G2 не является локально-компактной абелевой группой.
