Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 4.3.39.Пусть со ? Ж (?gj), где G — локально-компактная абелева группа, а 91 имеет единицу. Предположим, что точечный спектр ар (Ua) группы Ua (G) образует дискретную подгруппу в G, и пусть Яа обозначает ее аннулятор. Если пара (91, со)
является Ны-абелевой и если со принадлежит грани F в Е%f, удовлетворяющей условию сепарабельности S, то найдется такое со (j (j F П <% <уЕщл),чт°1 (z G/На \—> х* со измеримо по мере Хаара dt на G/Ha и
со(Л) = j dt oi(Ti(A))
G/Ho>
при всех А ? 91.
Этот результат прямо копирует теорему 4.3.38, но в данном конкретном случае можно уточнить заключения относительно со.
Приведенные выше соображения о точечном спектре могут навести на мысль, что его аннулятор — это естественная группа симметрий системы. Но рассмотрение физических примеров показывает, что естественные группы симметрий характеризуются тем, что должны улучшаться кластерные свойства состояний, по которым производится эргодическое разложение. В этом отношении интересно, что, действительно, при сделанных в следствии предположениях удается доказать, что состояние со можно выбрать так, что оно будет слабо перемешивающим для На, т. е.
/И (| со (Лх (В)) — со (Л) со (В) |) = О
при всех А, В ? 91, где М — произвольное инвариантное среднее на Сь (Яш). Доказательство этого утверждения основано, однако, на некоторых результатах теории представлений и будет дано в следующем разделе (см. теорему 4.4.12). По-видимому, вполне разумна гипотеза, что улучшение кластерных свойств является
438
4. Теория разложения
хорошей характеризацией естественной группы симметрий, но положение дел неясно, так как результатов такого типа очень мало.
Разложения по отношению к нормальным подгруппам обладают рядом характеристических свойств. Поскольку множество состояний, по которым производится разложение, образует орбиту ft|co; g (j G/H} одного фиксированного состояния под действием факторгруппы G/Н, эти состояния одновременно обладают разного рода алгебраическими свойствами; например, Я-абелевой или Я-центральной пара (91, т|со) будет тогда и только тогда, когда Я-абелева или Я-центральна пара (91, со). Таким образом, если эта пара Я-центральна, то, слегка видоизменив последнее утверждение теоремы 4.3.19, можно убедиться, что разные состояния т|м, принадлежащие орбите, порождают дизъюнктные представления 91. Тем не менее возникающие при этом унитарные представления Я связаны унитарной эквивалентностью, которая устанавливается следующим образом.
Представление, ассоциированное ст|м, для простоты обозначим через (§g, щ, Ug, &g), а ассоциированное с со — через (ф, я, U, Q). Введем отображение Vg из в §:
УеЩ (A) = (Л))0.
Поскольку
II Vgng (•'4) ||“ - сй (Tg {А*'А)) = || n.g (л) Qg [|-,
можно продолжить Vg до изометрического отображения. Но Vg обратимо, так как
(Л) Q = Jig (tg-i (Л)) Qg
определяет изометрический обратный оператор. Поэтому Vg — унитарное отображение Qg на Далее, проверив, что
(У*п*(Л)?2*, U {h)Vgng(B)Qg) = (я(т?(Л))Й, я (т,^ (В)) Q)
= (я (tg- (Л)) й, я (В)) О) = (Vgiig (A) Qg, Vgjig (tg-ihg (B))Qg)
= (пй (A) Ug (g-1 fig) n6 (B) Qg)
при всех h ? Я, получаем
VlU{h)Vg^Ug(tlhg).
Тем самым унитарное представление Ug (Я) унитарно эквивалентно унитарному представлению U (gHg '1). В частности, если группа G абелева, то Ug (Я) и U (Я) унитарно эквивалентны. Более общим образом, эквивалентны представления из семейства Ugig^Hg), учитывающие подкручивание состояния вдоль орбиты факторгруппы.
Далее, обратимся к почти-периодическим разложениям G-эргодических состояний для локально-компактных абелевых групп
4.3. Инвариантные состояния
439
G. Сначала необходимо привести ряд основных положений, относящихся к почти-периодическим функциям.
Пусть L°° (G) обозначает пространство ограниченных функций на G, снабженное нормой
1/1»=-- sup I <ее
а Сь (G) обозначает С*-алгебру ограниченных непрерывных функций на G. Алгебру тригонометрических функций Т (G) определим как банахову *-подалгебру в Сь (G), образованную конечными линейными комбинациями характеров группы G, а С*-алгебру A (G), полученную равномерным замыканием Т (G), назовем алгеброй почти-периодических функций.
Согласно данному определению, функция / почти-периодична тогда и только тогда, когда она является равномерным пределом семейства конечных линейных комбинаций характеров группы G. Известны и другие характеристические свойства функций / ? ? A (G), а также первоначальное определение Бора в терминах приближенных периодов. Если т обозначает действие G на ограниченные функции, т. е. (тtf) it') = f it + t'), то t ? G называется г-периодом функции / в том и только том случае, когда
