Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
= ? I (Ф, Р IV] Ч>) Г2-
V6CTp <и>
' А
Тем самым утверждение леммы равносильно эргодической теореме для U, т. е. М (U) = Е.
Существование инвариантного среднего на Сь (G) позволяет переформулировать некоторые критерии эргодичности, приведенные в предыдущем пункте. Например, легко заключить, что если
430
4. Теория разложения
ш ? Е% и Еа — ортогональный проектор на подпространство в §й), образованное векторами, инвариантными относительно Ua (G), то Е(й одномерен тогда и только тогда, когда
М (со (Лт (В)) — со (А) со (В)) = О
при всех А, В ? 91, где М — некоторое инвариантное среднее. Кроме того, если вектор Qffl — отделяющий для (91)", то это условие эквивалентно тому, что
М (со (Ах (В) С) — со (АС) со (В)) = О
при всех А, В, С ? 91.
Последний критерий допускает следующее обобщение.
Предложение 4.3.36. Пусть со ? Е%, где G—локально-компактная абелева группа, и предположим, что соответствующее ее унитарное представление Ua сильно непрерывно. Рассмотрим условия:
(1) Qa—единственный с точностью до фазового множителя (нормированный) собственный вектор для Ua (G);
(2) М (|со (Аг (В)) — со (А) со (В) |) = 0 для некоторого инвариантного среднего М. при всех А, В ? 91;
(3) М (I со (At (В) С) — со (ЛС) со (В) |) = 0 для некоторого инвариантного среднего М при всех А, В, С ? 91.
Связь их такова: (1)<^(2) -ф= (3), а если вектор Qa — отделяющий для яа (91)", то все три условия эквивалентны.
Доказательство. Сначала отметим, что М, будучи состоянием на Съ (G), удовлетворяет неравенству Коши — Шварца (лемма 2.3.10), так что
M(l/l)2^M(l/l2)<M(|/|)[]/|ioc
при всех / ? Сь (G). Поэтому условие (2) эквивалентно тому, что М (|со (Лт (В)) — со (Л) со (?)|2) = 0
при всех А, В ? St.
Введем теперь фд и ife, положив
фа " Яш (А)* — со (Л) = яи (В) со (В) Qщ.
Тогда |(фл, Ua (t) i|>b)I2 = 1<в (Axt (В)) — со (Л) со (В)|2 и, согласно лемме 4.3.35,
М (| о (Лт (В)) - ш (Л) со (В) Р) = ? | (фл, Pa [V] Ы Р.
Условие (2) равносильно тому, что каждый член в правой части равен нулю. Отсюда легко получить эквивалентность условий (2) и (1).
Импликацию (3) =*- (2) проверяем, выбрав в качестве С единицу, если St обладаетединицей,или аппроксимируя ?2Ш векторами яю (С) Qa, в общем случае. Обратная импликация для отделяющего следует из условия
М (|(Ф, Ящ (т (В)) 1|)) — (ф, i|>) со (В)|) = 0
4.3. Инвариантные состояния
431
при всех <р, гр ? и В ? St, которое, как нетрудно заметить, равносильно
(3). Но по предположению вектор для ясо (Я)' циклический, так что указанное условие эквивалентно тому, что
М (|(ф, Спш (т (5)) QJ — (ср, CQJ со (В)|) = О
при всех ф ? С ?_ яи (St)' и В ? Щ, а это последнее условие вытекает из эквивалентного (2) условия
М (|(<р, (т (В)) QJ — (ф, ?2Ш) со (В)|) = О
при всех ф ? и 5 ? St.
Второе условие из предложения 4.3.36 впервые было найдено в классической эргодической теории, т. е. в случае абелевой 91 и G = R; его обычно называют свойством слабого перемешивания.
4.3.4. Нарушенная симметрия
На протяжении всего этого раздела нашей основной задачей было разложение заданного G-инвариантного состояния по G-эргодическим состояниям. В данном пункте мы рассмотрим разложение G-эргодического состояния по состояниям с более низкой симметрией.
Имеются разные способы разложить данное G-эргодическое состояние на состояния, не обладающие G-инвариантностью. Например, если яш ('Л)" ие является фактором, то можно рассмотреть центральное разложение со, обсуждавшееся в пункте 4.2.2. Что касается состояний, по которым проводится такое разложение, то существуют такие возможности:
(1) Они могут удержать инвариантность относительно некоторой подгруппы Н группы G. Так происходит, если Зш — (Н)'¦
Отметим, что в этом случае при условии //-центральности пары (91, со) по теореме 4.3.14 мы имеем Зш = 1яа № U Ш)\'> и центральное разложение совпадает с Я-эргодическим. Таким образом, с точки зрения центрального разложения Н будет естественной группой симметрии для со.
(2) Они могут потерять всю инвариантность, но тем не менее сохранить некоторые следы симметрии, такие как почти-перио-дичность. Такое поведение возникает, если действие G на Зш имеет в некотором смысле много периодов.
(3) Они могут просто утратить любые формы инвариантности и симметрии.
Первые две ситуации, в которых сохраняется какая-то остаточная симметрия, особенно интересными именно такого рода разложения мы намерены изучить. Подобные разложения связаны с явлениями спонтанного нарушения симметрии, встречающимися в физике.
432
4. Теория разложения
Сперва мы разберем, как производится разложение G-эргодических состояний по состояниям, инвариантным относительно нормальной подгруппы Н, и установим условия, при которых разложение соответствует усреднению по факторгруппе G/Н. После этого мы ограничимся локально-компактными абелевыми группами и рассмотрим разложения по почти-периодическим состояниям. Существование нетривиальных разложений и выбор естественной группы симметрий оказываются тесно связанными со свойствами точечного спектра, обсуждавшимися в предыдущем пункте.
