Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Vy унитарен. Сразу же получаем для него
xt (Ау) -----------
Wv) = ~T^ = {Y’Уч'
т. е. Vy — также собственный элемент х. Если Wy ? (Щ)" — любой другой
унитарный собственный элемент, то
*t (WyVy) = xt (Wy)' xt (Vy) = WyVy.
Таким образом, WyVy d лт (21) П Ua (G)\ и вторичная ссылка на теорему
4.3.20 показывает, что W’Vy кратен единичному оператору, т. е. отличается от Vy не более чем фазовым множителем.
Теперь учтем, что {AvQm; А ? яи (St)''} должно быть плотно в Рш [7] &а, так как Луйш = Ра [7] Следовательно, Ра [7] должно состоять из
кратных векторов, т. е. ранг проектора Ра [7] равен единице и, значит,
нормированный собственный вектор 1/ы (G) единствен с точностью до фазового множителя.
(3) Если yv ? 0р (т) и Vy^, Vy^ — соответствующие им унитарные собственные элементы, то и оператор VyVy^ унитарен и удовлетворяет уравнению
(V'v.) = М Ov7) = (W1) W
Тем самым Yj + Y2 (з УхУъ) ? ор(т), и это свойство аддитивности спектра в со* четании с установленной ранее симметричностью показывает, что opr(t)(= 0p((/m)'
является подгруппой в G.
Предположим теперь, что ylt у2 (z в (Ua), и пусть N — произвольная окрестность для yx -f- y2. Если М — окрестность единицы в G, такая что Yi + Ya + -f М с Я, то эквивалентность (1) <=>- (2) из предложения 3.2.40 обеспечивает существование таких функций /ь /2 ? L1 (G), что supp /г Е Y< + Af, a Ua (fi) Ф Ф 0. Поэтому найдутся такие Alt А2 ? St, что соответствующие им регуляризации xft (А{) удовлетворяют условию
i (Ai) Qa» 0, i — 1, 2.
Таким образом, ot (xf{ (А г)) с= yi + М\ здесь мы употребили обозначения спектральных подпространств, введенные в пункте 3.2.3. Далее, на основании лемм
418
4. Теория .разложения
3.2.38 и 3.2.42 можно заключить, что (т7г(Лх)) Tf2 (Л2))с= Yi + у2 -f- Af + + М при всех t ? G. Значит, если удастся показать, что
*ЛЬг(А1))ЪЛА2)а»*°
при некотором t ? G, то предложение 3.2.40 позволит утверждать, что Yi + Тг € € о((/ш). Но действительно,
II *t (Ьг Hi)) Ьг (А2) Q(0 f = “ (Ч № *, (*/, W Ьг ИО) Ь, (^j),
а G-эргодичность со дает
Л С Со х Ct ‘м ^ f М U 1 “ ^ ^2)) ~
',6CoTfi(,f1Hi) т/> (л1))
- “ (Ч (Л2) */, (Л)) “ (*/, ИГ) (Лх)) I = °-
согласно теореме 4.3.23. Итак, требуемое заключение верно и 0 ((/ш)(= о (т)) аддитивен. Аддитивность в сочетании с симметричностью, установленной в доказательстве^), означает, что a ((/м)— подгруппа в G.
(4) Соотношения (у, t1 + i%) = (у, ^)(у, i2) и (у, —t) = (у, t) показывают, что На — подгруппа в G. Замкнутость этой подгруппы следует из непрерывности 11—> (у, t). Из определения #м и уравнения, которому удовлетворяет собственный элемент l7^, вытекает, что Vy ? Ua (Яш)'; поэтому
IVy, у € оР (*)Г = п» (Я)' П иш (Нш)’.
Но если V и г];,, обозначают собственные элементы для т и U„ (G), то
У 1 Yi СО
UJ*) Vv%1==(yyv OVv,.
так что
VyPa [Yi] = рСО tVYil VyPu [Til-
Переходя здесь к сопряженным операторам и учитывая, что V* == Vy-lt получаем
Рш Ы [Vi] УуРш [Y—1Vi]¦
Поэтому
РиУ у = IVl] ^со IТ-1Тд] = 5j Р“ iTTl] ^YPco Ы =
V, Vi
и, следовательно,
{IV Y 6 °р (*)Г — псо №" П?<в-
Обратно, если Л ( ла (31)" Г) рю, то РюЛйю = Лйи. Отсюда следует, что
Лйм = ^у^ш>
у
где Лу ? Пи (Щ" — собственные элементы, построенные в доказательстве утверждения (2). Более общим образом,
ЛСЙШ = ^yCQ« y
при всех С ? пю (Sf)'. Тем самым, если X ? {Vv; у ? ор (?)}', то
[Л, X] Сг^со) = {(-^yCi^o), ХСгйщ) — (CjQq), ХЛуСг^ш)} =0
4.3. Инвариантные состояния
419
при всех Clt С2 (j яш(?1)', так как [Ау,Х] =0. Значит, А (j {Vy\ у ? ар(т)}"' и
{Уу! V € Стр (*)}" = яф (Я)' П S яш (Щ)" п г/ш (#<»)'•
Но по эргодической теореме Еа (На) ? Ua (Нау и потому
яш (Я)" п Еа (нау з ям (й)' п г/ш (НаУ-
Таким образом, если Л ? яи (SI)'' f| (ИаУ и t ? //w, то
t/a. (0 i4t/m (- 0 Qw = г/ш (0 ЛОш = (Яш) ЛОш = AQa, а так как вектор Йм — отделяющий, то Л f па (Щ” П Ua (Нш)', т. е.
"со (Я)" Л Еа (Нау = яш (Щ)" П и а (//со)'-
Если Еа (На) = Ра, т0 все четыре множества совпадают. Обратно, их равенство дает
Ра = [{УТ У € Стр (г)}' fico] = [Ко (St)" П Ua (На)’} 0<в] = Еш (На). Наконец, предположим замкнутость стр (Ua). Тогда двойственная к На группа Нш имеет вид На = О/crp (Ua). Пусть ср: у ? G <—\ у + crp (Ua) ? Нш — естественный гомоморфизм G на Ям; всякое борелевское подмножество в На является образом некоторого борелевского подмножества в G при отображении ср. Введем для (j спектральную меру на G соотношением
