Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
*t (Л') ^ (V> 0 Av
при всех t ? G. Мы хотим выяснить связь между стр (Ua) и стр (т).
На протяжении всего этого пункта помимо указанных выше предположений и обозначений используется еще обозначение
Р [у J = Р(\у\).
Для групповой операции мы, как правило, применяем аддитивную запись, но иногда, для сокращения записи, и мультипликативную, т. е. вместо yj + у2 пишем у^, а вместо —у пишем у-1. Наконец,
с стр (иа) мы свяжем проектор Рш задаваемый равенством
Ло = ^Ям[у].
у ? G
Подпространство Р^^ будет1 именоваться подпространством Ua (йупочти-периодических векторов. Мотивировку читатель найдет в пункте 4.3.4.
Первый и наиболее полный из спектральных результатов относится к G-эргодическим точным состояниям.
Теорема 4.3.27. Пусть со ? Е%, группа G локально-компактна и абелева, соответствующее унитарное представление U(G) сильно непрерывно, и пусть ЛР,Л обозначает проекторпозначную спектральную меру для Ua (G).
Если — отделяющий вектор для ям (1)", то справедливы следующие утверждения:
(1) ст (Ub)) = ст (т), Стр (Ua) = стр (т) и оба множества симметричны, т. е. замкнуты относительно операции перехода к обратному элементу у —у в G;
(2) при условии G-эргодичности со для каждого у ? стр (Ua) =
= стр (т) существуют единичный вектор и унитарный
оператор Vy ? JtM (1)", такие что
U(t) 4’v = (у, t) xt (Vv) = JyJ) Vy,
причем ipv и Vv определены единственным образом, с точностью до фазы;
416
4. Теория разложения
(3) если со является G-эргодическим, то оба множества a (Ua) и
crp (UJ суть полугруппы в G;
(4) введем анн у лятор #10 множества ар (Um) как замкнутую подгруппу в G, определенную равенством
На = {/; t (j G, (у, t) = 1 при всех у ? стр (Ua)\;
если со является G-эргодическим, то
1^,; у ? стр (т)}" = лм (9.1)" П Р'ы
s я», (Я? П Еа (HJ - (91)" П Ua (HJ,
где Ра — проектор на подпространство Ua (й)-почти-периодиче-ских векторов, а Еа (#J — проектор на подпространство (#J-инвариантных векторов. Равенство всех четырех множеств, входящих в последнее соотношение, имеет место в том и только том
случае, когда Еа (Н,,) = Ры, что, в частности, выполняется, когда спектр ар (Um) счетен и замкнут.
Доказательство. Мы постоянно пользуемся тем, что отделяющий для яш (81)" вектор является циклическим для ям (81)', согласно предложению 2.5.3.
(1) Если тf и Ua (/) обозначают регуляризации т и Ua с помощью / ? ? L1 (G), то из соотношения
и а (/) AQa = Xf (A) QM
следует, что иш (/) — 0 тогда и только тогда, когда т/ = 0, так как вектор ?2(1) — отделяющий. Следовательно, a (Ua) = а (т), по определению 3.2.37.
Далее, отметим, что для /Ц ? яю (81)", удовлетворяющего уравнению xt (Ay) = (у, t) Ay, вектор = AyQa будет удовлетворять уравнению
Uс о (0 'Фу = ^ (АУ^ = ^ V
Поэтому сгр(т) с= ap(t/w). В обратную сторону, если у ? Op(Uio), выберем такой
оператор А ? яш (81)", что Ры [у] Лйа =j= 0. Подпространство Ра [у] в
образовано векторами, инвариантными относительно унитарного представления 11—^ (у, t) Uа (i) группы G. Поэтому, в силу предложения 4.3.4, существует сеть
VO^J I >-'t (у, (*“)
i=i
выпуклых комбинаций элементов yUa, которая сильно сходится к Ра [у]. Рассмотрим соответствующую сеть
"а
S}_a(yr(A))= 1] К? (у, *?)*,« (А)
i=l 1
выпуклых комбинаций элементов ух (Л). Для нее || (^4)) |J ^||Л||, и
SjO. (yt (Л)) сильно сходится на плотном подпространстве яш (81)'?2^. Значит, S^a (yt (Л)) сильно сходится к некоторому ограниченному оператору А . Ясно, что Лу € ||Л7[|<||Л[|,И
AyCQй = СРы [у] ЛОй
4.3. Инвариантные состояния
417
при всех С ? (ЭД)'. Специальный выбор С = Иш приводит к Ау ФО, ив этом
случае
xt (Л?) CQa = Ua (О ((/ш (О* О/» (*))Ош = 0/и (О [7] ЛЙт =
= (7, /)
при всех С ? лСщ (9?)'. Таким образом, т* (Лу) = (7, *) Лу и ар (?/ш) с ар (т). Вместе с уже установленным противоположным включением это дает равенство точечных спектров.
Симметричность а (т) вытекает из леммы 3.2.42, а симметричность ар (т) — из соотношения
it (Ay) = Ъ (АуУ = (У, О А$ = (7V0 Л?-
(2) Предположим G-эргодичность со. Если Ау обозначает собственный элемент для т, построенный выше, то АуАу ? (Щ)" П Ua (G)'. Тогда по теореме
4.3.20 этот оператор А должен иметь вид где %А ф 0. Следовательно,
и если Ау= — полярное разложение.^, то оператор
