Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Гт] . = 0, ТО, = Й .
А ’ Со со
По теореме Кадисона о транзитивности, приведенной в замечаниях и комментариях к пункту 2.4.2, оператор Т можно выбрать в 33. Таким образом, вводя Сх и С2 формулами
Ci = Т (яю (А) со (А) 11 с) > С2 = (Исо —1 Т) (ям (А) — со (А) Ию), получаем, что С^Йщ = 0, С2ЙМ = 0 и ям (А) = со (А) 11 ю + Сх + С2. Поэтому со (Атеа (В)) - со (А) со (Tg« (В)) = (Йш, [Сг ящ (Tga (В))] Й J.
Но Сх ? S, значит, для всякого s> 0 найдутся такие конечные семейства Л; ? ? St, i = 1,2....п, и Bi ? яю (St)', что
Ci — ^ я<о В;
i=l
<
Тем самым
I со (Лте« (В)) — со (А) со (Tga (В)) | < 8 + 2 IIBillII lAi’ V (5)] II'
1 — 1
Отсюда сразу же следует кластерное свойство.
Отметим, что в проведенном рассуждении G-инвариантность со не использовалась. Если предположить G-инвариантность со и существование последовательности сетей {§*},¦>] G, таких что
[л’ Vr4(5)J11=0
при всех i ф j и всех А, В ? 81, то можно вывести многоэлементное кластерное свойство
lim I со /та {А^ та (Л2) ... т а (Л„)\ — со (Ах) со (Л2) ... со (Ап) I = 0 а I ®1 ®2 I
при всех Аъ Л2, Ап ? St. Для этого достаточно п — 1 раз применить предыдущее рассуждение, последовательно выбирая
А = Ak> В = 1 iAk+i) о“ k=\,2........п— 1,
4.3. Инвариантные состояния
409
При G = IRV часто встречаются ситуации, когда
lim || [Л, т, (В)]|| = 0
I * I -»¦«>
для всех А, В ? Щ, и в таких случаях можно заключить, что каждое (^-инвариантное факторное состояние со обладает свойством
lim | со (хЛ1 (Ах) хХ2 (А2) ...хХп (Ап)) — со (Ах) со (Л2) ... со (Ап) | = 0
при всех Ах, ..., Ап ? St и всех п > 2. Здесь подразумевается, что \xt — xj | стремится к бесконечности для всякой пары индексов i ф /. Последнее кластерное свойство для случая v = 1 было введено в классической) эргодической теории под названием сильного перемешивания всех порядков. При п — 2 это свойство называется просто сильным перемешиванием.
Условие равномерной асимптотической абелевости lim|| [Л, V*(?)]|| = 0
а
играло решающую роль в последнем примере. Равномерность позволяет нам убедиться, что перемешивание имеет место в каждом факторном состоянии со. Это условие представляет интерес еще и потому, что оно, очевидно, влечет G-абелевость и G-центральность каждого G-инвариантного состояния. Имеются и другие виды асимптотической абелевости, которые сильнее, чем G-абелевость, но слабее, чем приведенное выше условие. Хотя ни один из других видов асимптотической абелевости, по-видимому, не обладает столь общей видовой характеристикой, как G-абелевость или G-центральность (под этим мы подразумеваем структуру, описанную в теоремах 4.3.9 и 4.3.14), но в примерах они встречаются и интересны для определенных задач. Так, например, пару (51, со) обычно называют слабо асимптотически абелевой, если имеется такая сеть ga ? G, что
lim (ф, яи ([А, т8а (В) ] г|з) = 0
а
для всех ф, ^ и Л, В ? 31. Слабую асимптотическую абелевость в среднем определяют, заменяя здесь поточечный предел средним значением. Пример 4.3.24 позволяет немедленно применить эти понятия. Если пара (31, со) слабо асимптотически абелева, а со — факторное состояние, то со обладает сильным перемешиванием, а если система асимптотически абелева в среднем, то и перемешивание также происходит в среднем. Доказательство обоих утверждений не отличается от доказательства, проведенного в примере 4.3.24. Отметим, однако, что доказательство наличия перемешивания всех порядков решающим образом зависит от равномерности асимптотической абелевости.
Если со — точное факторное состояние, т. е. я^, (31)" — фактор, а — отделяющий вектор для яи (31)", то слабая асимптотическая абелевость и сильная кластерность (сильное перемеши-
4io
4. Теория разложения
вание) фактически эквивалентны. Предыдущее обсуждение показывает, что слабая асимптотическая абелевость влечет кластерность, а для проверки обратного утверждения мы заметим, что условие кластерности
lim | со (Лтеа (В)) — со (А) со (rga (В)) | = О
а
при всех А, В ? 31 эквивалентно свойству
lim | (ф, (яш (Tg« (В)) - со (тка (В)) И J fij| = О
а
при всех В ? 31, г|з ? фш. Но вектор — циклический для ящ (31)', согласно предложению 2.5.3, и, следовательно, последнее свойство эквивалентно тому, что
lim ] яш (т8а (В)) — со (Tg« (В)) И J ф) | = О
а
при всех ф, ^ ? ?>(0. Слабая асимптотическая абелевость следует отсюда немедленно. Опять-таки этот результат не требует G-инвариантности со, но при наличии G-инвариантности слабая асимптотическая абелевость оказывается эквивалентной сильной кластерности (сильному перемешиванию) всех порядков.
