Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) для всякого А ? 91 существует сеть Аа в выпуклой оболочке множества {xg (Л); g ? G}, такая что
lim со" ([Tg (Л,), б]) = О
а
при всех со", удовлетворяющих неравенству со" < К со' для некоторых К > 0 и со ? N%, и при всех В ? 91, равномерно по g ? G.
Условие (2) очевидным образом влечет (1), а для проверки обратной импликации надо воспроизвести оценки, использованные в доказательстве предложения 4.3.12. Сначала выбирается сеть Sk<* (т (Л)) выпуклых комбинаций элементов из ха (Л), для которой сеть (SA« (т (Л))) Еа сильно сходится к Ма (А) Еа. Затем выбирается такая вторая сеть выпуклых комбинаций в Ua (G), что (?/ш) сильно сходится к Е,й. После этого вводится Аа> р формулой
А«, р = (т (Л))
и с помощью оценок, применявшихся в доказательстве предложения 4.3.12, проверяется, что эта двойная сеть сходится, и притом равномерно по g.
4.3.2. Эргодические состояния
В предыдущем пункте мы рассмотрели разложение G-инвариантных состояний с помощью максимальных ортогональных мер на пространстве Эта теория выступает как прямое обобщение теории разложения для состояний абелевой С*-алгебры 91; свойство абелевости заменяется свойством G-абелевости или G-центральности, а вместо множества состояний Е% рассматривается
множество G-инвариантных состояний Е%. Таким образом, множество G-эргодических состояний <8 (Ещ) соответствует множеству чистых состояний & (%) абелевой алгебры, и можно рассчитывать, что они обладают сходными свойствами. В этом пункте мы проанализируем такую аналогию в случае произвольной группы G, а в следующем пункте изучим дальнейшие подробности для случая локально-компактных абелевых групп, действие которых непрерывно. В обоих этих пунктах мы считаем, что G действует как группа *-автоморфизмов т алгебры 91, причем несущественно, есть ли у 91 единица.
Чистые состояния абелевой С*-алгебры 91 обладают рядом отличительных черт. Прежде всего, они порождают неприводимые представления, которые автоматически будут одномерными; далее,
4.3. Инвариантные состояния
399
согласно следствию 2.3.21, они факторизуются, т. е. удовлетворяют соотношению мультипликативности
со (АВ) = со (Л) со (В)
при всех А, В ? 51. Каждое из этих свойств имеет аналог для случая G-эргодических состояний, однако теперь в игру решающим образом входят группа G и ее представление Ua (G). Пусть Е0 обозначает ортогональный проектор в на подпространство, состоящее из векторов, инвариантных относительно (G). В приведенной ниже таблице перечислены эквивалентные свойства для состояния со на абелевой алгебре, а также аналоги этих свойств для G-абелевой пары ('Л, со) (впоследствии будет доказана эквивалентность свойств и во втором столбце).
Абелев случай G-абелев случай
одномерно одномерно
® ? & (?Ш) w ? 8 (Ещ)
ям (Я) неприводимо {яш (91) [J иф (G)} неприводимо
ш (АВ) --- со (А) со (В) inf | со (А'В) --- со (А) со (В) | = 0
А' ? Со тQ (Л)
(В нижней строке второго столбца символ Сот0 (А) по-прежнему обозначает выпуклую оболочку множества {ту (A)-, g ? G}.)
Свойство «приближенной» факторизации, фигурирующее в G-абелевом случае, часто называют кластерным х> свойством (или свойством перемешивания). В дальнейшем нам встретятся более общие кластерные свойства типа
inf | со (АВ'С) — со (АС) со (В) | = 0.
В’ (С Со Zq (В)
Кластерное свойство с двумя элементами-сомножителями эквивалентно спектральному свойству группы (Ja (G), состоящему в одномерности проектора Еа, и при довольно общих предположениях можно вывести и более сильные спектральные ограничения из кластерных свойств с тремя элементами. На этом мы остановимся в пункте 4.3.3.
Некоторые из эквивалентностей между свойствами, указанными в правом столбце таблицы, не зависят от предположения о G-абе-левости пары (91, со). Мы начнем с результата, который характеризует понятия неприводимости и эргодичности.
1> От английского cluster (гроздь, кисть, связка, пучок, группа). — Прим. ред,
400
4. Теория разложения
Теорема 4.3.17. Сопоставим состоянию со ? ортогональный
проектор Еа на подпространство векторов из инвариантных
относительно Ua (G), и пусть обозначает единичный оператор в §ш. Рассмотрим следующие условия:
(1) ранг Еш равен единице;
(2) состояние со ? & (?щ), т. е. состояние со является G-эрго-дическим;
(3) {яш (91) U иы (G)}" — неприводимая алгебра в §и;
(4) {Зи П Ua (G)'} = {С1Ц. где Зи = (91)" П (Я)'.
В общем случае (1) =>- (2) ¦<=>¦ (3) =>¦ (4).
Если дополнительно предположить G-абелевость пары (91, со), то (2) =>- (1), а в случае G-центральности (91, со) все приведенные условия эквивалентны.
