Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(3) (Ф. (Л)> Роуло>’ F(o'] t) = 0 при всех А, В ? Щ, гр €
« со' ? N°.
(3) => (1). Пусть со t и пусть со — состояние, которое мажорируется некоторым кратным состояния со'. В таком случае по теореме 2.3.19 можно представить со" в виде
®" (А) = (й«"> яи' (А) QC0")'
где = CQa, при некотором С = С* ? ям, (Я)'. Примем теперь во внимание, что среднее Мш, (Л) является слабым пределом сети яш, (S^a(T (Л))) Fa,, где S^a (т (Л)) — это сеть выпуклых комбинаций элементов rg (Л):
па
Sxa(<z(A))= ? Я“т а (Л). i=l
394
4. Теория разложения
Сославшись на доказательство предложения 4.3.7, мы можем выбрать эту сеть так, чтобы соответствующие комбинации
па
1 = 1
сильно сходились к Е^,. Таким образом, получаем (Ою„, [МВ,(Л), Fa,na, (В)
= [ПШ- (V (т И))) F*'. ^сЛ' (В) Fco'l Г-Вш.)
= (Ошм ЯС0' (А) ЕЛ (В) С'2Qt0.) - (Qa„ яш. (В) Еа,яш, (Л) C*Qffl.)
= lim (?2И,, [яи, (т (Л))) Fm,, ям,(В)] C2Qffl,)
= (йсо"> [Мш. (А), Яи, (В)| Йи„) = lim w" (|S*« (т (Л)), В]).
Следовательно, (3) =>¦ (1).
(1) =>(3). Пусть о/ ? N^. Если вектор 1|з в инвариантен относительно Ua, (G) и Л = Л *, то для любого е > 0 можно указать такую выпуклую комбинацию S% (т (Л)) в ха (А):
П
(т (Л)) — У ^ixgi {А)у
1=-Л
для которой
II (лш- (X (т (A)))-Mw
После этого можно выбрать выпуклую комбинацию (Ua>) в Uа, (G) так,
чтобы
II (UV>') - ?00') Я(0' (Т (Л))) Ч> II < -Т ¦
Образуем вторичную выпуклую комбинацию 5^5^ (т (Л)); для нее
WII<1T •
Наконец, построим третичную выпуклую комбинацию SpS^S^ (т (Л)) элементов из %G (S^S^ (т (Л))); для нее по-прежнему
II К' (VA (т (л)) - моу И)) 'f II < -f- >
II Я<о' (SpV>. * “ ?<о'Л(о' И)Ч> I <
Теперь, если С = С* ? ям, (St)' и В — В* ? Ж, то
| (Сгр, [Ма, (Л), Foyяш, (В) Fa,\ Сг|>) | = 2 | Im (С*Ч>, лш,(В) Fa.Ma. (А) г),) |
< (е/3) || С р || В || + 2 | Im (С*г|>, яш. (В) Fa,ят, (SpS;S?_ (т (Л))) г|>) |
< (2е/3) 1| С ||2 I В И + 2 | Im (С»г|>, яш. (В) ЕЛ, (А) г),) |
<e|lcIPI|S|| + 2 | 1т(Оф, ящ, (В) я^, (SpS^Sx (x(A)))ip) |
= e||C|P||S|| + l(Ct, ^1) С^) 1;
4.3. Инвариантные состояния
395
здесь мы сначала воспользовались выбором Sх, затем выбором и также эксплуатировали очевидное соотношение Fa,Ea, = Еа,. Мы все еще свободны в выборе выпуклой комбинации Sp, так что условие (1) влечет
(Cty, [Ма, (A), Fa,яи, (В) F^,] Су = О
для самосопряженных Л, В ? I и С = С* ^ яш (St)'. Но условие (3) тогда прямо вытекает из плотности, благодаря тождеству поляризации.
(2) =>- (3). Вновь пусть со ? Условие (2) означает, что для каждого А ^ jtm, (St) имеется элемент С ? Зи, П (G)', такой что Ми, (Л) Fa, = = CF ,. Следовательно,
[Ма- И). (S) FM'] = iС> Fa’na>’ (S) Fa’] = °>
так как F[0, ? яи, (St)". Итак, условие (3) выполнено.
Остается доказать, что (3) =>¦ (2), а для этого нам необходима следующая
Лемма 4.3.13. Если Е — ортогональный проектор в алгебре фон Неймана 3)t, действующей в !q, и ШЕ — редуцированная алгебра фон Неймана ЕШЕ в Е$, то
(ШЕ)' = (Ш%.
Кроме того, если 3 — центр Ш, то Зе является центром ШЕ.
Доказательство. Очевидно, что э Ш'Е и, значит, (SOt'f)' Э =
= ШЕ. Наоборот, если Т действует в ?§) и Т f (2ft'?)' cr {?}', то ТЕ ? <Е ал, или Т <Е ШЕ, и (Ш'Е)' с ШЕ. Тем самым ШЕ = (Ш'Е)'.
Ясно j-акже, что 3Е содержится в центре ШЕ. Если, однако, Т ? ШЕ П П то Т = Т’Е с Г ? Пусть F = [SKf]; тогда f € 3> и мы утверждаем, что FT' лежит в Зр- Для проверки заметим, что отображение S ? —>
I—> SE ? Ш'Е является морфизмом и, более того, изоморфизмом, так как F = = [9К?]. Значит, раз Т'Е лежит в центре алгебры Ш'Е, то обязательно T'F содержится в центре Qp алгебры Следовательно, T'F ? Q и Т = (T'F) Е ? ? 8е-
Конец доказательства предложения 4.3.12, Если со' ? и =
= яи, (St)" П UФ- (G)', то условие (3) утверждает, что
аяGf*' = /vstogfb, = ('v’V («)'*v)'-
Но Fa, ? яш, (St)", поэтому из леммы 4.3.13 следует, что
(*V"B' W" F*'Y = ^'Ясо' («)' V = (»)' fa,-
Комбинируя эти соотношения, приходим к включению Но тогда
ЯК°^ = Ov (St)" п ?/ш. (О)' П яв, (St)') Fa, = (Зи, П!?/в. (G)')
