Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) множество Еапа (91) Е^ абелево *>;
(3) коммутант j ям(91) U Ua (G)j' абелев;
(4) существует единственная максимальная мера |л ? УИМ (?щ)-
Эти условия связаны между собой так: (1) (2) =>- (3) (4),
а если вектор — отделяющий для (Щ)", то (1) (2)
<=5.(3) <=>(4).
Доказательство. (1) =>- (2). Достаточно доказать (2) для самосопряженных операторов. Выберем е > О, А = А* ? St и т|) ? Еаф; тогда, в силу предложения 4.3.4, существует выпуклая комбинация Si(UJ операторов Ua (g):
п
i=1
такая что || (SA (U(d) — Еа) (Л) т|) || < е/2. Поэтому, определив S^(x(/1)) равенством
Sjl(tM)) - Z Uxgi{A)t i=i
выбрав любую другую выпуклую комбинацию (UJ операторов (7Щ (g) и соответствующую ей выпуклую комбинацию (т (Л)) операторов(А), мы получим
1|?<Л(Л)г|> — лм(ЗД|„(т(Л))-фЦ = ||Sn(f/J [?шям (Л)г|з - (5Л(т(Л))-ф]||< j.
Там самым
(i|), яи (А) Еюлю (В) г|з) - (т|>, яи (В) Еюлю (А) гр) [
<е||В|| Ж| + |№, яш(ВД^ИЖ В])Ч>)|-
Но выпуклая комбинация все еще произвольна, поэтому, применив услови® (1), находим
№. [?(Ло(Л)?и> ?щяв (В) ?ш]г|)) =0.
Ввиду произвольности ? Еш?> отсюда следует (2).
(2) =>¦ (1). Если Si (т (Л)) обозначает упомянутую выше выпуклую комбинацию в г<з (J4), то по условию (2) получаем
1(Ч>. Яш([5я(т(^)), В]) г|>) | < || Я II II (Sx (UJ — EJ яш (А) г(з II +
+ 11В II \\(SK(UJ — EJ яи (4*)Ч>Ц,
и условие (1) следует из предложения 4.3.4.
(2) =>¦ (3). Прежде всего заметим, что так как EmQa = Qa и Еаям (St) Еа абелево, то основная характеризация ортогональных мер (теорема 4.1.25) ставит
1) Условие (2) не означает, что ?щящ (St) Еа является алгеброй, а только ТО’ что коммутируют операторы, входящие в ЕуЯц (Щ)Е®.
388
4. Теория разложения
Ет в соответствие абелевой алгебре фон Неймана {лш (St) (J Еа}'. Но, согласно предложению 4.3.4, Еа ? Ua (G)". Следовательно,
{яш (St) U EJ” ^ {яш (St) U (G)}" и {яи(81) U U<o(G)}' — {яш (St) U ?»}'•
Тем самым {яш (St) (J Uш (G)}' — абелева алгебра.
Условия (3^ и (4) эквивалентны согласно предложению 4.3.3.
Наконец, предположим, что йш — отделяющий для яш (St)" вектор, и докажем импликацию (3) =>¦ (2).
Пусть 5ВШ = {яш (St) U ^Ло (G)}'. Из теоремы 4.1.25 и предложения 4.3.1 следует, что 5ВШ находится в соответствии с проектором Р = [5ВИЙШ], обладающим свойствами 11ы (g) Р = Р и Ряш (Л) Р Е {Рящ (St) Р.}'. В частности, Р ^ Еа, и для установления условия (2) достаточно доказать, что Р = Е0). Но это равенство эквивалентно цикличности вектора йс0 для яш (St)' Г) Uoi (G)' в Так как вектор — отделяющий для ям (St)", он автоматически цик-
личен для яш (St)', согласно предложению 2.5.3. Требуемый вывод мы получим, применив результат следующего ниже предложения 4.3.8 к Ш = яш (St)'. В частности, это предложение позволяет сопоставить каждому Л ? яш (St)'
М (Л) <Е яш (St)' П Ua (G)', причем М (Л) = ?ШЛ?2Ш. Следовательно,
{М (Л) А ? яв (St)'} = благодаря цикличности.
Отметим, что импликация (3) => (2) в предложении 4.3.7 неверна в общем случае. Простой пример получим, взяв любую неабелеву 1, ав качестве G — одноточечную группу. Тем самым Ua (О) состоит из единичного оператора в условие (3) эквивалентно абелевости яи (21)', а условие (2-) эквивалентно абелевости (91). Однако для всех со это невозможно. Тем не менее известны достаточно общие случаи, когда эта импликация верна, и для их исследования нам понадобится следующее обобщение эргодической теоремы на группы автоморфизмов алгебры фон Неймана.
Предложение 4.3.8 (Ковач и Сюч). Пусть ЭЯ — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве и g ? G >—> U (g) f ? & (?) — унитарное представление группы G в .р, такое что U (g) Ш U (g)* Е ЗЛ при всех g ? G. Определим = Зй П П U (G)', и пусть Е0 обозначает проектор на подпространство всех U (0)-инвариантных векторов в ф.
Если F0 = то существует единственная нормаль-
ная G-инвариантная проекция М алгебры Ш на Т1°. Кроме того, выполняются следующие свойства-.
(1) М — положительное и точное отображение, т. е. для А ^ О
из М (Л) = 0 следует А = 0; _________
(2) \М (Л)| = Ша П Со т0 (Л) при всех А ? Ш, где Со т0 (Л) обозначает слабо замкнутую выпуклую оболочку множества \ге (Л); g <Е G}; здесь rg (А) = U (g) AU (g)*;
(3) М (А) является тем единственным элементом в 2Ji, для которого
М (А) Ещ = EqAEq\
4.3. Инвариантные состояния
389
(4) нормальное состояние сана 3)? тогда и только тогда G-инвариантно, когда
to (Л) = о»(М (А)), А е 3»,
т. е. со = (со | о)»М•
EcAuF0^i, то F0 ? Ша П (Ша)' и сформулированные утверждения верны с заменой Ш на F0TIF0 и на (F0TIF0)G = WGF0.
