Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. (2)^=^(3). Опираясь на теорему 2.3.19 и G-инвариантность со, мы легко проверяем, что (2) нарушается тогда и только тогда, когда существует ненулевой самосопряженный оператор Т ? {яш (Я) (J (О)}', который не пропорционален Ищ. Последнее же условие, согласно предложению 2.3.8, равносильно нарушению (3). Тем самым условия (2) и (3) неверны, а потому и верны одновременно.
(1) => (3). По предположению, Еа проектирует на подпространство, натянутое на Qq. Из цикличности этого вектора для яш (Я) следует неприводимость {Ящ (Я) [J Еа}, но эргодическая теорема (предложение 4.3.4) показывает, однако, что {я(0 (Я) (J Еш} <= {яы (Я) 1J 1!ы (G)}", так что последнее множество неприводимо.
(3) => (4). Условие (3) эквивалентно тому, что {яш (Я)' П Ua (G)'} = {СИщ}.
Но
¦Ш«> nt/m(G)'} <={"*>(«)' пг/ш(0)'},
поэтому (4) выполняется.
Далее, допустим, что пара (Я, со) является G-абелевой. Если {яш (Я) (J U Ua (G)} — неприводимое операторное семейство в фш, то Еш {яш (Я) (J U иы (G)} ?щ неприводимо в ?ш§ш. Но
Еа {яш (®t) U U(G)} Еа = Еапа (Я) Еа,
а последнее множество операторов абелево, в силу предложения 4.3.7. Таким образом, Еа должен иметь ранг единица, т. е. (3) =>• (1).
Наконец, при условии G-центральности (Я, и) имеем по теореме 4.3.14
(Я) U иа (G)}' ^ n ua (G)'},
поэтому (4) =>- (3).
Отметим, что в случае алгебры 91 = 3? (ф) в некотором гильбертовом пространстве ф, если взять в качестве со какое-нибудь векторное состояние, а в качестве G — группу из одного элемента, представленную тождественным автоморфизмом, то условие (2) будет выполнено, а (1) нарушено, в предположении что размерность § превосходит единицу. Таким образом, G-абелевость необходима для импликации (2) =>- (1). Следующий пример показывает необходимость G-центральности для импликации (4) => (3).
4.3. Инвариантные состояния
401
Пример 4.3.18. Пусть St = Мг — алгебра комплексных 2 X 2-матриц {Aij}, группа G состоит из диагональных унитарных элементовg ? St HXg(A) = g/4g-1. Тогда G-инвариантные состояния St имеют вид
(И ij}) = ЯЛц + (1 — Я,) Л22
при 0 X <; 1, и существуют два несовпадающих G-эргодических состояния со0 и о»!. Далее, Е= [яш)1 ф) где D—множество диагональных матриц,
следовательно, пара (St, cojJ является G-абелевой. Но при X Ф 0 или 1 состояние cdjl не будет G-эргодическим. Тем не менее Зш^ П (^У ~ {СИмх}- Тем самым импликация (4) =>- (3) в теореме 4.3.17 не имеет места, и потому (St, ых) не может быть G-центральной. Отметим, что при X, не равном 0 или 1, вектор
для ят^ (St) будет отделяющим. Этим обстоятельством мы в дальнейшем воспользуемся.
Пусть со ? Условие (4) теоремы 4.3.17:
(За П tUG)'} НС1Ц,
иногда называют условием Центральной эргодичности, а соответствующие состояния именуют центрально-эргодическими. Свойства эквивалентности и дизъюнктности для таких состояний представляют определенный интерес, и следующая теорема обобщает предложение 2.4.27 на случай дентрально-эргодических состояний.
Теорема 4.3.19. Если соь соа ? Eyi — центрально-эргодические состояния, то они либо квазиэквивалентны, либо дизъюнктны, причем квазиэквивалентны они тогда и только тогда, когда (coj + соа)/2 центрально-эргодично. Более того, следующие два условия эквивалентны:
(1) все центрально-эргодические состояния эргодичны, т. е. для <¦> € El
если Зш П Ua(G)' = {С1Ц, то ям(91)' П Ua(G)' = {СИ,,!;
(2) если состояния сох и со2 центрально-эргодичны, то либо
coi = со2, либо сох о ®2-
В частности, если пара (4Д, со) при всех со ? Е% является
G-центральной, то все центрально-эргодические состояния будут эргодическими и любые два центрально-эргодических состояния соь со2 или совпадают, или дизъюнктны.
Доказательство. Предположим, что Wj, со2 ? Е^ центрально-эргодичны,
и рассмотрим соответствующие представления (ф;, я;, U;, Q;), i— 1,2. Введем
0 §2» ^ ~ ^1 © ^2> U : U1 0 U2,
3 = я (St)" П я (Я)', . 3° = в П и (G)',
^1 = ^1©°' ^2 = 0Ф%2-? = [n(St)(Qj ® Qa)], Р = [я (St)' Pj?)].
402
4. Теория разложения
Поскольку Р\ (z я (St)', то Р с я (St)" П я (St)'. Кроме того, так как Рх ? 6 U (G)', a {/(g) я (St)' {У (g)* = я (SI)' при всех^ ? G, то Я ? {У (G)', и можно заключить, что Р 3С-
Очевидно, PPj = РХР = Рг. Положим Q = РР2 = Р2Р; тогда Q ? я (St)'. Тем самым оператор P2Q, рассматриваемый как оператор в §2, содержится в я2 (81)'. Кроме того, Q ? U (G)', следовательно, P2Q ? U (С?)'. Но раз Я ? ? я (St)", должна найтись такая сеть {Аа} С 31, что я (Л<*)->¦ Я сильно, а тогда я (Ла) Я2 = я2 (Ла)—»- <?Я2. Следовательно, QP2 ? я2 (St)" и, наконец, P2Q ? ? я2 (St) П л2 (St)' П U.2 (G) = 3^ = СИ^ ; последнее равенство опирается
на центральную эргодичность со2.
Мы приходим к выводу, что для Р= [я (St)' Pi§] имеются две возможности:
