Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
404
4. Теория разложения
которому отвечает «единственный» нормированный собственный вектор Q. Пусть G == Z и т„ (Л) = UnAU~n, A d ST. Состояние со, определенное формулой
со (Л) = (Q, Лй),
G-инвариантно, и проектор Еа одномерен, с областью значений CQ. Поэтому со будет G-эргодическим, а также и единственным яш-нормальным G-инвариантным состоянием. Значит, G-центральная пара (Ш, со), так как (Щ)' = 8га = СИШ. Тем не менее существуют нетривиальные Л ? 91, которые коммутируют с U, например сам U, следовательно, условие (1) теоремы 4.3.20 не выполнено.
Займемся теперь характеризацией эргодичности посредством кластерных свойств. Критерии, содержащиеся в последующих теоремах, не служат непосредственно критериями эргодичности, а представляют собой условия одномерности проектора Е,Л на множество инвариантных векторов. Тем самым можно будет получать критерии эргодичности с помощью теорем 4.3.17 и 4.3.20. Приводимый ниже результат, по сути дела, является алгебраической перефразировкой эргодической теоремы.
Теорема 4.3.22. Пусть со ? и Еш обозначает ортогональ-
ный проектор на подпространство в образованное векторами, инвариантными относительно Uи (G). Далее, для всякого А ? 91 пусть СотG (А) обозначает выпуклую оболочку множества jrg (А); g ? G}. Следующие условия эквивалентны:
(1) ранг Еа равен единице;
(2) inffi- ? Со xq (В) [ о) (АВ') — со (А) со (В) [ = 0 при всех А, В G 91;
(3) для любого В ? 91 существует такая сеть \Ва\ ^ Сот„ (В), что
lim | со (Axg (ба)) — со (А) со (В) | — 0
а
при всех А ? 91 равномерно по g ? G.
Доказательство. (1) =>¦ (3). По эргодической теореме (предложение 4.3.4) найдется такая сеть jS^a ((/ш)} выпуклых комбинаций операторов Ua (g):
i=l
что Uа (g) S^a (U ) сильно сходится в равномерно по g к одномерному проектору Еш на Сйм. Следовательно, для Ва = S^a (т (В)), где
"а
Sxa(r(B)) = V Xfr а (В),
(—-1 е‘
равномерно по g
lim | со (Axg (Ba)) — « (А) со (5) | = 0.
а
(3) =*> (2). Это очевидно
4.3. Инвариантные состояния
405
(2) .=>-(1). При фиксированном е>0 с помощью эргодической теоремы •можно выбрать для каждого В ? St такой В' ? Со (В), что
II (яш (В’) — (В) || < е.
Тем самым
I (^ш> ^(1) (А) ЕЬ1ЛЮ (В) Ощ) (^0)’ ЯШ (А) ^(о) (^(0, ям (В) &(а) |
= | (йи, яи (А') Ешяа (В) fiM) — (О0)яа (A) ?JM) (В ) ?3(0) |
< еК Л || + | со (А'В') — ш (А) со (В’) [ при всех А' ? Сот0 (А). Следовательно, условие (2) влечет
(Qw, ям (Л) Еыяш (В) йш) = (й(0> ям (A) QJ (Йш, я(0 (В) Q(0), и, в силу цикличности, ?ш оказывается одномерным проектором на CQ(1).
Следующая теорема показывает, что свойство одномерности Е,л может быть также охарактеризовано трехэлементным кластерным свойством, если вектор — отделяющий для зти (91)".
Теорема 4.3.23. Примем предположения и обозначения теоремы 4.3.22. Рассмотрим условия:
(1) ранг Еа равен единице;
(2) inf в- (1 со га (В)|м [АВ' С) — со {АС) со (В) \ = О при всех А, В, С ? 91;
(3) для всякого В ? 91 существует сеть s Со гс (В), такая что
lim | со (у4тй(Ба)С) — со (АС) со (В) | — О
а
при всех А, С ? 91 равномерно по g ? G.
Справедливы импликации (1) -<= (2) -<= (3), а если вектор Ям — отделяющий для (91)", то все три условия эквивалентны. Доказательство. (3) =>- (2). Это очевидно.
(2) =>- (1). Если St обладает единицей И,~то, взяв С — D, мы убедимся, что наше условие (2) влечет условие (2) из теоремы 4.3.22. Но последнее условие эквивалентно (1). Если St не обладает единицей, то выберем по е > 0 такой С, что || яш (С) Qa — QM I < е. Тогда
| со (АВ') — со (А) со (В) |<2е|| А |Ц|В|| + | со (АВ’С) — со (АС) со (В) |.
Требуемое заключение вновь следует из теоремы 4.3.22.
Наконец, предположим, что вектор — отделяющий для ям (St)", и рассмотрим импликацию (1) =4» (3).
Если — проектор ранга 1, то по теореме 4.3.22 существует сеть (Ва} С С Сот0 (В), такая что сеть ящ (т (Ва)) слабо сходится к со (В) Q. Если, однако, вектор Q0) — отделяющий для я(й (Й)", то он цикличен для ям (St)' и поэтому ям (tg (Ва)) слабо сходится к со (В) 11 ш. Но это эквивалентно условию (3).
Отметим, что пример 4.3.21 относится к ситуации, когда Qffl — единственный Ua (С)-инвариантный вектор в ?ш; следовательно, кластерные свойства теоремы 4.3.22 будут выполнены. Тем не менее условия (2) и (3) теоремы 4.3.23 не удовлетворяются в этом
406
4. Теория разложения
примере, так как 91 содержит много нетривиальных элементов, которые инвариантны относительно действия т группы G. Таким образом, условия теоремы 4.3.23 в общем случае не эквивалентны. Однако имеется целый ряд ситуаций, в которых гарантируется эквивалентность. Например, свойство QM быть отделяющим, которое предполагается в теореме 4.3.23, может быть заменено одной из форм асимптотической абелевости. В частности, если G-инвариантное состояние со удовлетворяет условию
