Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В этом месте стоит упомянуть об одной взаимосвязи между топологиями и типами пределов. Если пара (31, со) слабо асимптотически абелева для всех со ? Е%, то из теоремы Хана—Банаха следует, что
inf || [Л, В'] || = 0
В’ ? Сот0 (В)
при всех А, В ? 31, т. е. выполнено условие равномерной асимптотической абелевости в среднем. Это частный случай общей теоремы Мазура, которая гласит, что если последовательность непрерывных линейных функционалов на банаховом пространстве слабо сходится, то некоторая выпуклая комбинация элементов этой последовательности сходится равномерно.
Мы хотим также подчеркнуть, что критерии эргодичности иногда можно усилить, приняв во внимание структуру конкретной группы G. Фактически такого рода обобщения мало употреблялись, но они интересны для приложений в математической физике, где особенно важны специальные группы симметрии, такие как группа Пуанкаре или эвклидова группа. Мы проиллюстрируем это обстоятельство примером, связанным с эвклидовой группой Ev. Эта группа состоит из группы трансляций Rv и ортогональной группы ©v вращений пространства Rv. Предположим, что эти группы действуют непрерывно на 31 и со является Е^инвариант-ным и v R-эргодическим состоянием. Кроме того, предположим, что — егинственный (с точностью до фазового множителя)
4.3. Инвариантные состояния
411
U® (К^-инвариантный единичный вектор в ?>ш. Тогда из примера 4.3.5 следует, что со удовлетворяет условию кластерности
lim 1 dx со (А%х (В)) = со (Л) со (В)
?->оо L) | ^ | | ^v| ^ г,
при всех Л, В ? 91. Инвариантность со относительно вращений позволяет заключить, однако, что верно также более сильное условие кластерности
lim со (А%х (В)) = со (А) со (В)
( X I —>-О0
при всех Л, В ? 91. Это умозаключение основано на приеме сглаживания по вращениям, который описан в следующем примере.
Пример 4.3.25. Пусть U: (х, R) i—U (х, R) — сильно непрерывное унитарное представление в ф эвклидовой группы Ev с v > 2. Если Е — проектор на подпространство в %>, образованное векторами, инвариантными относительно U (Rv, l), то, как можно показать,
lim (ф, U (х, 1) t|j) = (ф, Zn|j)
j X | ->ос
при всех <р, л|> ? ф. Доказательство основано на процедуре регуляризации, связанной со сглаживанием по вращениям. Пусть JC обозначает такую окрестность единичного элемента группы вращений, что
II t IIII U (0. R) ф - Ф || < , || Ф11| U (0, R) ip - if || <
при всех R ? Л3. Тогда для всякой положительной С°°-функции / с носителем в JF, интеграл от которой равен единице, имеем
| j dRf (R){ф, U (0, R)* U (х, 1) U (0, R) if) - (ф, U (х, 1) if) |< е
и, следовательно,
| (ф, и (х,\) ф) - (Ф, ?ф) | < | j d (ф, Е (р) 1|0 j dRf (R) el x | + e,
где E обозначает спектральную меру U, измененную в точке {0} так, чтобы приписать этой точке нулевой вес. Достаточно показать, что найдется функция / указанного типа, для которой
lim \ dR f (R) el {Rp) х = 0 | X | ->оо J
равномерно по р на компактных подмножествах Rv \ {0}. Это нетрудно сделать, но детали мы опустим.
В заключение рассмотрим одно геометрическое свойство множества G-эргодических состояний, которое проявляется во многих приложениях. Следствием 4.3.11 установлено, что если для всякого со ? пара (91, со) будет G-абелевой, то будет симплексом. Следующий пример показывает, что множество & (?щ) крайних точек такого симплекса может оказаться плотным, Это
412
4. Теория разложения
свойство плотности напоминает плотность множества чистых состояний, установленную в примере 4.1.31, однако оно еще интереснее в случае симплекса. Добавочным замечательным обстоятельством является существование единственного (с точностью до аффинных изоморфизмов) симплекса, крайние точки которого образуют плотное множество (см. замечания и комментарии). Тем самым различные пространства G-инвйриантных состояний, описанные в следующем примере, аффинно изоморфны.
Пример 4.3.26. Пусть Ж обозначает РГФ-алгебру, введенную в примерах 2.6.12, 3.2.25 и 4.1.31, но только возьмем в качестве множества индексов / = = Zv. Для х ? Zv пусть фх обозначает соответствующее гильбертово пространство (см. пример 2.6.12), и предположим, что размерность !qx от х не зависит. Далее, для каждого а ? Zv выберем унитарное отображение Vх (а): §>*—>- &х+а так, чтобы Vх (0) равнялось тождественному отображению на Qx и Vх (ах + а2) = = К*+а2 (ai) V* (аг)- Кроме того, для всякого конечного подмножества Л С Zv определим КЛ (а) формулой
VA(a)= ® Vx(a).
х (Z А
Таким образом, Va_^_^ (—а) = (а)*. Теперь можно задать действие т группы
Zv на Ж, введя *-автоморфизмы %а\
Та = КЛ (“) AV\+a ( — а) при всех А ? Щд. Тем самым т оказывается определенным на объединении всех ?JA, AcZv, и изометрические *-автоморфизмы та можно по непрерывности продолжить на Ж. Отметим, что если Л ? ЩЛ, то (Л) ? хотим
