Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
СФ» = j (У) (V» о
G
при / f G и определим спектральную Mepyv^, как «сужение» на Яш> т. е.
СФ. t/m (s)t) = j ^ (У) (У, s)
На
при s ? Нт. Тогда для любого борелевского S с= Нш
VU> (5) = Цц, (Ф-1 (5)).
В частности,
Vy ({0}) = «ар (!/„)}).
Предположим теперь, что ар (Ua) — счетное множество, и рассмотрим возрастающую последовательность его конечных подмножеств Sn с индикаторами Xs„. такую что (JnSn — стр(Уш). Каждому такому подмножеству соответствует оператор проектирования Рп < Яш, и
(Sn) = (xSn) = (г|з,
Последовательность Рп слабо сходится к Ра, a %s образуют равномерно ограниченную последовательность, которая поточечно сходится к индикатору множества сгр (t/m). Следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости
ИгЬ ({Op (U0)}) = lim Цц, (xs ) = lim (tJj, = (-ф, Рщф).
П-Уоо n' tl-> oo
Поэтому
(i|>, Ea(Ha) Tjj) = Vip ((0}) = ({0p (t/J)) = (%, Р^Ф)
и, окончательно, E0 (На) = Pw.
420
4. Теория разложения
Замечание. Последнее равенство представляет собой результат, относящийся к унитарным представлениям U группы G и не зависящий от наличия структуры алгебры. Если точечный спектр 0Р (U) представления U образует замкнутую счетную подгруппу
вСиЯ — аннулятор этой подгруппы, то соответствующее равенство верно, но те же самые рассуждения показывают, что сужение иИ представления (У на Я не имеет в точечном спектре других точек, кроме точки 0.
Полученные в предыдущей теореме результаты о структуре точечного спектра найдут применение при анализе нарушенных симметрий. Отметим, что если со ? & (^щ:) и У (G) есть собственные векторы, не пропорциональные то со не эргодично для стабилизирующей группы Нш. Это вытекает из теоремы 4.3.27, поскольку
П иа (HJ 3 \ VY ; у ? ov(x)\" ф СИ(й-
Если спектр 0Р (Ua) счетен и замкнут, то общая алгебраическая
картина упрощается за счет равенства Еа (#ю) = Р№. В частности, имеет место совпадение
{yv; 7 € = яш(Я)" П?/<о(Яи).
Это интересно потому, что алгебра, стоящая в левой части равенства, имеет тенденцию быть абелевой. Единственность Vy приводит с необходимостью к тому, что у Vy образует, с точностью до фазового множителя, представление абелевой группы сгр (UJ. Поэтому Vy будут коммутировать, если удается выбрать множители так, чтобы получить истинное представление группы. Такой выбор, очевидно, возможен, если группа ар (U0) циклическая, но он возможен и в более общих ситуациях.1* Такие алгебраические упрощения будут важны при последующем обсуждении теории разложения для G-эргодических состояний с нетривиальным точечным спектром ар (i/J. Мы вернемся к этим вопросам в пункте
4.3.4, а пока сразу же проиллюстрируем примером, насколько ограничивает произвол в отношении спектра предыдущий результат.
Пример 4.3.28. Пусть fi = R и G-эргодическое состояние со таково, что Uа непрерывно, а Йа —¦ отделяющий для гси (Щ)" вектор. Спектр а (?/ш)(= а (т))
оказывается тогда замкнутой подгруппой R (= R), содержащей {0}. Имеются три возможности:
(1) a (Ua) = стр (?/ш) = {0};
(2) a (UJ = ар (?/ш) изоморфен Z;
(3) a (t/j = R.
J> Более подробно этот вопрос обсуждается в замечаниях и комментариях К пункту 3.2.6,
4.3. Инвариантные состояния
421
Во втором случае алгебра яи (Щ)" абелева, согласно сделанным выше замечаниям. В третьем случае для сгр (Ua) есть в свою очередь три возможности:
(31) Op (UJ = {0};
(32) сгр (?/и) изоморфен Z;
(33) др (Uа) образует плотную подгруппу в R.
Первой из них отвечает На = R, второй отвечает Яш, изоморфная Z, а третьей — тривиальная На.
Отметим, что в случае (32) алгебра (91)" П U® (Н<аУ абелева, согласно замечаниям, сделанным перед примером.
Если G = Rv и a (Ua) = Rv, то для спектра ар (Ua) имеется много возможностей; например, может оказаться, что
°р (^ш) = ZVl X {0}, где v*<v.
Свойства точечного спектра для G-инвариантных состояний, описанные в теореме 4.3.27, можно установить и другими, независимыми рассуждениями, интересными еще и тем, что они характеризуют стр (Ua) и т. п. через алгебраические свойства проектора
Ра на подпространство почти-периодических векторов. При пред» положениях теоремы можно доказать, что
pj,
а это условие в свою очередь эквивалентно тому, что
Ра ы АР<й [yyi\BPa [72] = Ра [71] ВРа hvT1] АРа [72]
А _
при всех А ? яи (21)'', В ? яю (21)' и 7Ъ ? G. Последнее условие позволяет выявить свойства спектра, и соответствующую цепочку рассуждений мы проведем ниже для состояний/ со, которым отвечает вектор Йи, не отделяющий для яш (21)". g
